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Respostas
1. A raiz quadrada de um número natural é um outro número natural ou então é um número irracional.
.Verdade. Os números naturais que possuem raiz quadrada exata, a raiz é natural. Exemplo: √4 =2 ou √9 =3
Os números naturais que não possuem raiz quadrada exata, a raiz é irracional.
Exemplo: √3 = 1,7320...
2. Prove que a soma e o produto de um número racional não nulo por um irracional são irracionais. De exemplo de dois números irracionais positivos cuja soma e cujo produto são números naturais.
Prova: Soma:
Supondo que um número racional a/b soma x, dando como resposta um número racional c/d (sendo a, b, c e d inteiros)
(a/b)+x = c/d
Passando o a/b para o outro lado:
x = (c/d)-(a/b) Multiplicando a primeira fração por b/b e a segunda por d/d para elas ficarem com o mesmo denominador:
x = bc/bd-ad/bd
x = (bc-ad)/bd
Como a, b, c e d são inteiros, (bc-ad)/bd é, obrigatoriamente, um número racional.
Assim, x é, obrigatoriamente, racional, para satisfazer a equação(a/b)+x = c/d. Ou seja: se a gente somar um número racional com um valor x, para obter outro racional, x não pode ser irracional. Ou seja, se x for irracional, a soma é irracional.
Prova: Produto:
Supondo que um número racional a/b multiplica x, dando como resposta um número racional c/d (sendo a, b, c e d inteiros)
(a/b)·x = c/d
Passando o a/b para o outro lado, ele fica dividindo:
x = (c/d)/(a/b) Para dividir frações, a gente inverte a segunda e multiplica elas:
x = (c/d)·(a/b)
x = (c·a)/(b·d)
Como a, b, c e d são inteiros, (c·a)/(b·d) é, obrigatoriamente, um número racional.
Assim, x é, obrigatoriamente, racional, para satisfazer a equação (a/b)·x = c/d. Ou seja: se a gente multiplicar um número racional por um valor x, para obter outro racional, x não pode ser irracional. Ou seja, se x for irracional, o produto é irracional.
Exemplos:
Número Irracional 1: (2+√2) = 3,4142,,,
Número Irracional 2: (2-√2) = 0,5857...
Soma: 2+√2+(2-√2) = 4 (um natural)
Produto: (2+√2)·(2-√2) = 2²-√2² = 4-2 = 2 (um natural)