Question

Considere os vetores u = (1,-2,1) e v = (0,-3,4), de R³ . Qual o valor da expressão |u| ?
Escolha uma opção:

A) √3

B) √5

C) √7

D) √6

E) √8

Answer 1

Usando a definição de Módulo (ou norma) de um Vetor, obtém-se:

D )  √6

(gráfico em anexo 1)

Este sinal $|~u~|$  significa o módulo de um vetor, que é nada mais do que o

comprimento do vetor.

Fórmula que dá diretamente o | u |

$|u|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\~\\| u |= \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \\~\\|u|=\sqrt{1+4+1} \\~\\|u|=\sqrt{6}$

Existem no gráfico em anexo dois triângulos retângulos que explicam porque o módulo ( norma ou dimensão  ) deste vetor é :

$| u | = \sqrt{6}$

Triângulo retângulo AKO , retângulo em K, onde a hipotenusa AO, pelo

Teorema de Pitágoras,

vem:

$AO^2=AK^2+KO^2\\~\\AO^2=2^2+1^2\\~\\AO= \sqrt{5}$

O outro triângulo retângulo LAO , retângulo em A, com hipotenusa LO,

vai dar o | u | do vetor "u"

Pelo Teorema de Pitágoras:

$LO^2=AO^2+AL^2\\~\\LO^2 =( \sqrt{5})^2+1^2\\~\\LO^2=5+1\\~\\Lo=\sqrt{6}$

Nota 1 → Teorema de Pitágoras

" O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos"

Nota 2 → Fica assim provado como se chega à fórmula inicial.

Nota 3 → Quando estamos em $\mathbb{R}^3$ , logo com três dimensões usando números Reais:

• o eixo do " x " ( vermelho ) aponta para quem observa o gráfico
• o eixo dos " y "(verde) aponta para a direita da imagem
• o eixo dos " z " ( azul ) aponta para cima da imagem

Nota 4 → No gráfico aparece automaticamente calculada a dimensão do vetor "u" ( também chamado aqui vetor LO ).

O valor que aparece para $\sqrt{6}$  é 2,45.

Trata-se de uma aproximação às centésimas do valor de :

$\sqrt{6}= 2,44 94897427831780981972840747059...$

Nota 5 → Quando temos um triângulo retângulo, o vértice do ângulo reto é o do meio.

Saber mais sobre o cálculo de módulo (comprimento) de um vetor, com Brainly:

https://brainly.com.br/tarefa/19684796?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/2939609?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att: Duarte Morgado

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Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.