Respostas
Para que o polinômio P tenha grau 2, deve-se ter k igual a: b) k = – 4.
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Um polinômio p(x) será de 2º grau se 2 for o maior grau de x, tendo seu coeficiente distinto de zero. No caso de um polinômio quártico, P(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e deve ter a = 0, b = 0, c ≠ 0 e d, e ∈ \mathbb{R}R para tornar-se um polinômio quadrático:
\boxed{\sf p(x)=0x^4+0x^3+cx^2+dx+e~\Leftrightarrow~p\sf(x)=cx^2+dx+e}
p(x)=0x
4
+0x
3
+cx
2
+dx+e ⇔ p(x)=cx
2
+dx+e
Logo, P(x) = (k² – 16)x⁴ + (k + 4)x³ + kx² + 2x – 4 terá grau 2 se:
\begin{gathered}\left[\begin{array}{ll}\sf k^2-16=0~\Leftrightarrow~k^2=16~\Leftrightarrow~k=4\vee k=-\,4\\\\\sf k+4=0~\Leftrightarrow~k=-\,4\\\\\sf k\neq0\end{array}\right.\end{gathered}
⎣
⎡
k
2
−16=0 ⇔ k
2
=16 ⇔ k=4∨k=−4
k+4=0 ⇔ k=−4
k
=0
Porém nem todas as condições devem ser verdade, vejamos... assumindo 4 ou – 4 já satisfaz k ≠ 0; todavia, assumindo k = 4 teríamos (4² – 16)x⁴ = 0x⁴ (ok) e (4 + 4)x³ = 8x³ (absurdo! Visto que queremos 0x³... k = 4 nos dá um polinômio cúbico, que é de 3º grau). Então, P(x) será de 2º grau apenas se k = – 4 (alternativa b).
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Bons estudos