Question

PSACN 2012-QUAL É O MENOR VALOR POSITIVO DE 2160x+1680y,SABENDO QUE x e y são numeros inteiros ?

Answer 1

O menor valor possível positivo para a expressão dada é 240 quando é imposta a restrição de x e y serem inteiros, que se dá quando a escrevemos na forma 240(9x+7y).

Máximo divisor comum (MDC)

Na matemática, temos que, entre dois valores determinados, é possível calcular qual seu maior divisor em comum entre os dois. Para isso, usa-se o procedimento de fatoração de um número por meio de números primos.

Portanto, fatorando 2160 e 1680, temos:

2160, 1680 | 2
1080, 840 | 2
540, 420 | 2
270, 210 | 2
135, 105 | 3
45, 35 | 3
15, 35 | 3
5, 35 | 5
1, 7

Agora, considerando apenas os números divisíveis pelos dois ao mesmo tempo:

2*2*2*2*3*5=240

Que é o máximo divisor comum entre 2160 e 1680

Então, podemos reescrever a expressão:

240(9x+7y)

O problema pede o menor valor positivo e diz que x e y são inteiros. Sendo assim, o menor valor que a expressão dada pode ter é 240, que é assumida quando (9x+7y)=1

Portanto, o menor valor possível é 240.

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