Question

Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Neste sentido, assinale a alternativa que indica a derivada da função f(x) = In(sen(3x)).
Alternativas
Alternativa 1:f'(x) = 3 tg(3x)
Alternativa 2:f'(x) = 3 cos(3x)
Alternativa 3:f'(x) = 3 sen(3x)
Alternativa 4:f'(x) = 3 cotg(3x)
Alternativa 5:f'(x) = (3 cos(x))/(sen(x)).

Answer 1

A alternativa correta para a derivada de f(x) = ln(sen(3x)) utilizando a regra da cadeia será:

A Alternativa 4:f'(x) = 3 cotg(3x)

Calculo da derivada:

Primeiro nós aplicamos a derivada na equação em questão:

f'(x) = (ln(sen(3x)))'

Em seguida, utlizando as derivadas triviais e a regra da cadeia, que consiste em fazer a derivada da função externa, vezes a derivada da função interna, onde g(x) = ln(x) seria a função externa e h(x) = sen(3x) a função interna, assim teremos:

$f'(x) = \frac{1}{sen(3x)} *[sen(3x)]'$

Agora faremos uso novamente da regra da cadeia na segunda parcela da nossa equção, visto que agora h(x) = sen(x) é a função externa e i(x) = 3x seria a função interna, com isso:

$f'(x) = \frac{1}{sen(3x)} *[cos(3x)*(3x)'\:] = \frac{1}{sen(3x)} *[cos(3x)*3]$

Reorganizando a equação, teremos:

$f'(x) = 3* \frac{cos(3x)}{sen(3x)}$

Sabemos através das proriedades das funções trigonométricas que cos(x)/sen(x) = cotg(x), assim obtemos:

$f'(x) = 3* cotg(3x)$

Assim temos que a deriavada da função f(x) = ln(sen(3x)) é f'(x) = 3 cotg(3x). Referente a Alternativa 4.

Entenda mais sobre regra da cadeia aqui:  https://brainly.com.br/tarefa/52097574

#SPJ1