Question

começando com o intervalo fechado da reta , retiramos seu terço médio aberto , restando os intervalos fechados e . repetimos agora essa operação com cada um desses intervalos que restaram, e assim por diante. seja a soma dos comprimentos dos intervalos que foram retirados depois de dessas operações. mostre que . calcule o valor para o qual se aproxima quando cresce indefinidamente. o conjunto dos pontos não retirados é vazio? justifique.

Answer 1

1) Seguindo as teorias sobre progressão geométrica, obtendo uma razão igual a 2/3 e um primeiro termo igual a 1/3, é possível obter a equação sn=1 − (2/3)^n

2) Quando, no limite em que n tende a infinito na equação da soma dos termos de uma PG, e sendo que 2/3 é um número entre 0 e 1, tem-se que sn tende a 1. sn=1

3) Não há como o conjunto de pontos retirados ser vazio, pois não é possível fisicamente que n tenda ao infinito, sendo assim, sempre terá como dividir a reta indefinidamente. Portanto, o conjunto de pontos retirados não é vazio.

Progressão geométrica

Na matemática, temos que uma progressão geométrica é dada por uma sequência de números na qual o próximo número dessa sequência é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão. Tal razão é obtida com a seguinte relação:

$\boxed{q=\frac{a_n}{a_{n-1}}}$

E temos que a equação do termo geral de uma progressão geométrica é:

$\boxed{a_n=a_1.q^{n-1}}$

Outra relação importante é a da soma de todos os termos de uma PG, dada por:

$\boxed{S_n=\frac{a_1.(q^n-1)}{q-1}}$

Portanto, para o problema dado temos que:

1)

De uma reta com intervalo fechado entre 0 e 1 é dividida em 3 partes, onde é retirado o segundo terço da reta, restando o primeiro e o último terço.

Portanto, para a primeira iteração n=1, foi retirado 1/3 da reta.

Para a segunda iteração n=2, temos que duas partes de 1/3 sobram, portanto, 2.(1/3), e da reta original, duas partes de 1/9 são retirados. Portanto, 2.(1/9)

Para a terceira iteração n=3, temos que quatro partes de 1/9. Para cada um dos um nonos de intervalo original será retirado 1/3, portanto, será tirado 4.(1/3).(1/9)

Reorganizando cada um dos termos de cada iteração, temos:

n=1, tem-se 1/3

n=2, tem-se (1/3).(2/3)

n=3, tem-se (1/3).(2/3).(2/3)

Pode-se ver que a sequência sendo formada segue os padrões de uma progressão geométrica com razão igual a:

$q=\frac{n_2}{n_1}=\frac{(1/3).(2/3)}{1/3}=2/3$

Agora, aplicando os dados na equação da soma de todos os termos de uma PG, temos:

$s_n=\frac{\frac{1}{3}.(\frac{2}{3})^n}{\frac{2}{3}-1}\\\\s_n=\frac{\frac{1}{3}.(\frac{2}{3})^n}{-\frac{1}{3}}\\\\\\\boxed{s_n=1-(\frac{2}{3})^n}$

Que é a equação pedida.

2)

Para quando n cresce indefinidamente, temos que n tende ao infinito na equação da soma dos termos da PG obtida. Para fazer essa análise, deve-se reparar que o termo elevado a n é o único da equação que sofrerá alguma diferença conforme muda-se o valor de n, e 2/3 é um valor menor que 1 e maior que zero, portanto, quanto mais aumentamos o valor de n, menor vai ficando este termo, sendo que no limite quando n tende ao infinito, o termo tende a zero, restando apenas sn=1

Portanto:

$s_n=1$

3)

Não é um conjunto vazio, pois sempre haverá como dividir a próxima parte, a não ser que se vá dividindo até o caso limite de que n (número de iterações) é infinito, porém, fisicamente é impossível se chegar ao infinito.

Segue a questão completa:

"Começando com o intervalo fechado da reta [0,1], retiramos seu terço médio aberto (1/3, 2/3), restando os intervalos fechados [0, 1/3] e [2/3, 1]. Repetimos agora essa operação com cada um desses intervalos que restaram, e assim por diante. Seja Sn a soma dos comprimentos dos intervalos que foram retirados depois de n dessas operações.

1. Mostre que Sn = 1 − (2/3)^n.
2. Calcule o valor para o qual Sn se aproxima quando n cresce indefinidamente.
3. O conjunto dos pontos não retirados é vazio? Justifique."

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