Question

A regra de L'Hôpital, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1712. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo 0 por 0 ou infinito por infinito. Seja f uma função invertível e cuja derivada é contínua em todo o seu domínio e f(4) = 0 e f’(4) = 7. Ainda temos que:

Neste sentido, analise as afirmações seguintes.

​I. Se g é a inversa de f, então g(7) = 4.
II. L é quadrado perfeito.
III. f tem pelo menos uma raiz real.

É correto o que se afirma em:


II apenas.

Alternativa 2:
III apenas.

Alternativa 3:
I e II apenas.

Alternativa 4:
II e III apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Resposta: alternativa d) I e II apenas

Explicação passo a passo:

Answer 2

Considerando o enunciado e os conhecimentos referentes a propriedades de funções, é possível afirmar que a alternativa correta é a número 2.

Sobre propriedades de funções:

Para resolver a questão, iremos analisar cada afirmativa, logo:

• Afirmativa (I): Uma função inversa é aquela que possui o comportamento exatamente inverso a função original, isso é, tendo uma função f(x), teremos que sua inversa g(x) é tal que f(a) = b => g(b) = a. Desse modo, analisando a afirmativa, vemos que essa está incorreta, já que não há informação que indique eu f(4) = 7, para que g(4) = 7. A informação que temos é a respeito da derivada de f(x) mas essa não possui relação direta com sua inversa.
• Para analisar essa alternativa, precisamos aplicar a regra de L'Hôpital no limite dado, veja:

$L = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(4+3x)+f(4+5x)}{x}\\ \\L= \lim_{x \to 0} \dfrac{f'(4+3x).3+f'(4+5x).5}{1}\\\\ L=\lim_{x \to 0} 3f'(4+3(0))+5f'(4+5(0))\\\\L= 3f'(4)+5f'(4)\\\\L = 3\cdot7+5\cdot7\\\\L = 21+35= > L = 56$

Portanto, como 56 não possui raiz exata, temos que L não é um quadrado perfeito e a afirmativa está errada.

• Por fim, dizer que uma função tem raiz real, significa dizer que existe x pertencente aos reais tal que f(x) = 0. Dessa forma, o problema nos informa que f(4) = 0, portanto x =4 é uma raiz e a afirmativa é verdadeira.

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#SPJ1