O comprimento do raio de uma circunferência corresponde, em centímetros, a uma das raízes da equação x^2-16x-720=0. Qual é o comprimento dessa circunferência? (use π = 3,14)
POR FAVOR NAO USE BASKARA NEM DELTA!!! NECESSITO DE UMA CONTA BÁSICA DE 8°ANO
Respostas
Resposta:
Raio = 36
Circunferência = 226,08 cm
Explicação passo a passo:
Muito bem, sem utilizar o método de baskara o problema se torna mais interessante!
Vou propor dois métodos para a solução do problema. Veja que a questão gira em torno de descobrir as possíveis soluções da equação, já que descobrindo o valor do raio, R, a circunferência é dada por C = 2.π.R.
1º Método (pesquisa):
As raízes da equação são os valores da incógnita (x) que satisfazem a igualdade. Ou seja, os valores que tornam os dois lados da equação numericamente idênticos.
Nesse caso, vamos pensar em alguns valores possíveis para a solução...
Iniciemos olhando para a equação que queremos resolver x² -16x -720 = 0.
Note que para valores pequenos de x (valores positivo ou negativos em torno do zero), os termos negativos prevalecem sobre o valor de x². Para valores positivos de x, por exemplo, a função se inicia em -720 e começa a crescer quando o valor de x² supera as parcelas negativas (-16x -720).
Então vamos pesquisar e tentar encontrar um valor positivo que zere a função. Veja a tabela abaixo:
x | x² - 16x - 720
0 | -720
1 | -735
2 | -748
5 | -775
10 | -780
15 | -735
20 | -640
25 | -495
35 | -55
36 | 0
Dessa forma, descobrimos uma das raízes da equação X = 36.
Como a equação é de segundo grau, podemos achar a outra raíz fazendo a fatoração.
x² - 16x -720 = (x - 36).(x - x₂) ⇒ x₂ = -20 (a solução é encontrada pela divisão do polinômio por (x-36) ou simplesmete desenvolvendo a igualdade e comparando os termos.)
Portanto, a equação x² -16x -720 tem duas raízes reais:
x₁ = 36 (encontramos pesquisando)
x₂ = -20 (encontramos fatorando)
O valor negativo (x₂) não tem sentido para o raio, R, de uma circunferência e deve ser desprezado no problema. Assim temos:
R = x₁ = 36
C = 2.π.R = 2 . 3,14 . 36 = 226,08 cm
1º Método (completar quadrados):
Nesse caso vamos procurar agrupar os termos que possuem a incógnita x em um único termo quadrático de forma a conseguirmos, extraindo a raiz quadrada, isolar a variável x.
Lembre que:
(x -a)² = x² -2ax +a²
Então vamos expandir o termo (x-8)² e comparar com a nossa equação:
(x -8)² = x² -16x +64
x² -16x -720 = [x² -16x +64] - 784 = (x-8)² -784
Portanto podemos reescrever a equação x² -16x -720 como:
(x-8)² -784 = 0
(x-8)² = 784
(x-8) = ±√784
(x-8) = ± 28
x₁ = +28 + 8 = 36
x₂ = -28 + 8 = -20
O valor negativo (x₂) não tem sentido para o raio, R, de uma circunferência e deve ser desprezado no problema. Assim temos:
R = x₁ = 36
C = 2.π.R = 2 . 3,14 . 36 = 226,08 cm
Se ficou alguma dúvida, pode perguntar nos comentários.
Abraços e bons estudos.