Question

Determinar a taxa mensal de juros compostos que faz com que um capital triplique de valor após dois anos e meio​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{\mathsf{i = 3,73\,\%}}}$

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Explicação passo a passo:

O juros composto é aquele no qual a taxa insisde sobre o valor acumulado.

Sejam Mn, i e C o dinheiro acumulado após n meses, a taxa i mensal de juros compostos e o capital inicial C aplicado no investimento.

No primeiro mês o dinheiro acumulado $\mathsf{M_1}$ será:

$\mathsf{M_1 = C\,\cdot\,(1+i)}$

Como o juros inside sobre o dinheiro acumulado, para o segundo mês $\mathsf{M_2}$, teremos:

$\mathsf{M_2 = M_1 \cdot (1 + i) = \big[C \cdot (1 + i) \big] \cdot (1 + i) \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,M_2 = C \cdot (1 + i)^2}$

Desta forma, temos que em um mês n qualquer o dinheiro acumulado será

$\mathsf{M_n = C \cdot (1 + i)^n}$

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Para esta questão, queremos que o capital aplicado seja triplicado após 2,5 anos. Matematicamente isso quer dizer o seguinte:

$\mathsf{n_{anual} = 2,5 \,\,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\,\, n_{mensal} = 2,5 \cdot 12 = 30 \,\,\, meses} \\ \\ \\ \mathsf{M_{30} = 3C} \\ \\ \\ \mathsf{3C = C(1 + i)^{30}}$

Manipulando a equação, temos:

$\mathsf{\dfrac{3C}{C} = (1 + i)^{30} \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\, 3 = (1 + i)^{30}} \\ \\ \\ \mathsf{3^{\frac{1}{30}} = {(1 + i)} \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\, i = 3^{\frac{1}{30}} - 1=0,0373} \\ \\ \\ \boxed{\mathsf{i = 3,73\,\%}}$