Question

URGENTE!!!
Determine a soma das raízes 2sen^2x- 3senx - 2=0, no intervalo [0;2]

Answer 1

As raízes da equação $2sen^2x-3senx-2=0$ são    $\dfrac{7\pi}{6}$ e $\dfrac{11 \pi}{6}$ e sua soma $\dfrac{7\pi}{6}+ \dfrac{11\pi}{6}$ é $3\pi$.

Uma estratégia para resolver essa questão é fazer uma mudança de variável.

Para isso, vamos chamar $senx$ de $y$, assim:

$2sen^2x-3senx-2=0\\\\2y^2-3y-2=0, com -1\leq y \leq1$

O intervalo $-1\leq y \leq1$ é necessário, pois a função seno, dentro do ciclo trigonométrico, possui valor mínimo igual a -1 e valor máximo igual a 1.

Agora a equação inicial se assemelha a uma equação de segundo grau, e podemos resolvê-la usando Bhaskara:

$2y^2-3y-2=0$

Onde $a=2, b=-3$ e $c=-2$

$\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-2)\\\\\Delta=9+16\\\\\Delta=25$

$\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \\\\\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\times2} \\\\\dfrac{3\pm5}{4}\\ \\y_1=\dfrac{3+5}{4}=\dfrac{8}{4}=2\\ \\ y_2=\dfrac{3-5}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$

Logo, as raízes da equação $2y^2-3y-2=0$, onde $y=senx$, são $2$ e $-\dfrac{1}{2}$.

Porém, $senx=y$, $-1\leq senx \leq1$:

• Para $y_1=2$

$senx=y\\\\senx=2$

Esse valor não nos serve, pois $-1\leq senx \leq1$

• Para $y_2=-\dfrac{1}{2}$

$senx=y\\\\senx=-\dfrac{1}{2}$

Existem dois arcos com seno igual a $-\dfrac{1}{2}$ , que são  $\dfrac{7\pi}{6}$ e $\dfrac{11 \pi}{6}$.

Portanto, as raízes da equação $2sen^2x-3senx-2=0$ são    $\dfrac{7\pi}{6}$ e $\dfrac{11 \pi}{6}$ e sua soma é:

$\dfrac{7\pi}{6}+ \dfrac{11\pi}{6}\\\\\ \dfrac{7\pi+11\pi}{6}\\\\ \dfrac{18\pi}{6}\\ \\3\pi$

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Answer 2

Após a resolução dos cálculos✍️, podemos concluir mediante aos conhecimentos de equações trigonométricas e soma das raízes da equação de 2ºgrau que  a soma das raízes da equação 2sen²(2x)-3sen(x)-2=0 é    $\sf\dfrac{3}{2}$✅

Equação trigonométrica

Chama-se equação trigonométrica a toda equação cujo arco é desconhecido. Para resolvar uma equação trigonométrica é necessário ter o domínio da relação fundamental da trigonometria ,redução ao primeiro quadrante além de conhecer a tabela de arcos notáveis. convém lembrar a tabela a seguir:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\sf 0&\sf\dfrac{\pi}{6}&\sf\dfrac{\pi}{4}&\sf\dfrac{\pi}{3}&\sf\dfrac{\pi}{2}&\sf\pi&\sf\dfrac{3\pi}{2}&\sf2\pi\\\\\sf sen&\sf\dfrac{1}{2}&\sf\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sf1&\sf0&\sf-1&\sf0\\\\\sf cos&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sf\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\sf\dfrac{1}{2}&\sf0&\sf-1&\sf0&\sf1\\\\\sf tg&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{3}&\sf1&\sf\sqrt{3}&\sf\not\!\exists&\sf0&\sf\not\!\exists&\sf0\end{array}\end{array}}$

Equação do 2º grau

Chama-se equação do 2º grau a toda equação que assume a forma

$\sf ax^2+bx+c=0$ onde $\sf a,b,c\in\mathbb{R}$ e $\sf a\ne0$. A soma das raízes de qualquer equação do 2º grau é dada por $\sf s=-\dfrac{b}{a}$.

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui temos uma equação do 2º grau em sen(x) onde a=2, b=-3 e c=-2. vamos utilizar a fórmula da soma das raízes para equação de 2º grau:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf s=-\dfrac{b}{a}\\\\\sf s=-\dfrac{(-3)}{2}\\\\\sf s=\dfrac{3}{2}\end{array}}$

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