Question

Uma lata de forma cilíndrica, com tampa, deve ser construída com 60 cm² de folha de alumínio. Se r é o raio da base e h é a altura da lata que proporcionam o volume máximo, então o valor de r/h é:

Answer 1

Utilizando derivada para determinar o ponto máximo da função volume, temos que, o valor de r/h é igual a 1/2.

Função quadrática

Utilizando a fórmula da área e a fórmula do volume de um cilíndrico podemos escrever que a lata cilíndrica descrita na questão possui volume dado pela função $V = 30 r - \pi * r^3$. De fato:

$2* \pi * r^2 + 2 * \pi * r * h = 60 \Rightarrow \pi * r * h = 30 - \pi * r^2$

$V = \pi *r^2 *h$

$V = \pi * r * h * r$

$V = (30 - \pi *r^2)* r = 30 r - \pi * r^3$

Derivando a função volume, temos que, o valor máximo de V é dado por:

$30 - 3 \pi r^2 = 0 \Rightarrow r = \sqrt{10/ \pi}$

Pois o valor de r é uma medida e, portanto, é positivo. De onde obtemos que:

$\pi * r * h = 30 - \pi * r^2 \Rightarrow h = \dfrac{30 - \pi * ( 10/ \pi)^2}{\pi * r} = 20 / (\pi *r)$

Calculando o quociente, concluímos que:

$r/h = r* \dfrac{r * \pi}{20} = \pi * r^2 /20 = \pi * (10 / \pi) /20 = 1/2$

Para mais informações sobre derivada, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48098014

#SPJ1