Question

Qual energia cinética deve ser repassada a um elétron para que o comprimento de onda de d’Broglie dele muda de λ1 = 10−10 [m] para λ2 = 0.5 × 10−10 [m]?
a.1432 [eV]
b.153 [eV]
c.2 [eV]
d.451 [eV]
e.5.1 [eV]

Answer 1

A energia cinética que deve ser repassada a um certo elétron para que o comprimento de onda  de d’Broglie vá de 1×10⁻¹⁰ para 0,5×10⁻¹⁰ será de aproximadamente 451 eV, alternativa d)

Comprimento de onda de d’Broglie

Temos que comprimento de onda das ondas de De Broglie e  a quantidade de movimento p são inversamente proporcionais, sendo a expressão matemática que dita essa relação:

                                              $\lambda = \frac{h}{p}$

Onde,

• $\lambda -$ comprimento de onda
• $h -$ constante de Planck
• $p -$ quantidade de movimento

Essa fórmula pode ser relacionada a energia cinética sabendo que:

                                             $K = \frac{p^2}{2m}$

Logo, o comprimento de onda fica:

                                          $\lambda = \frac{h}{\sqrt {2mK}}$

Temos então que para o primeiro comprimento de onda:

                                 $K = \frac{h^2}{\lambda ^2 \cdot 2m }\\K = (6,626\times 10^{-34})^2 \frac{1 }{(1\times 10^{-20}) \cdot 2 \cdot 9,31 \times 10^{-31} } \\K \approx 2.4 \times 10 ^{-17}$

E para o segundo comprimento de onda:

                       

                             $K = \frac{h^2}{\lambda ^2 \cdot 2m }\\K = \frac{4,39 \times 10^{-67}}{2,5 \times 10 ^{-21} \cdot 1,82 \times 10^{-30}}\\K \approx 9,6 \times 10^{-17}$

Fazendo a diferença e lembrando que as contas tem resultados em Joule, basta fazer a conversão sabendo que 1 Joule equivale a 6,242×10¹⁸ Eletrón-Volt:

                            $9,6 - 2,4 = 7,2\\7,2 \times 10 ^{-10} \times 6,242 \times 10^{18} \approx 450$

Teremos então qe o elétron precisa aproximadamente 450 eV e devido a aproximações no cálculo podemos dizer que a alternativa correta é a d) 451 eV.

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