Question

A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão r é 50.

Answer 1

A soma dos 4 primeiros termos da PG é 765/64.

Progressão geométrica

Uma progressão geométrica é caracterizada por uma sequência de valores crescentes, decrescentes ou alternados, onde a razão entre um valor e seu antecessor é sempre constante.

Do enunciado, temos que a soma dos 5 primeiros termos da PA de razão r é 50, logo:

S₅ = (a₁ + a₅)·5/2

50 = (2·a₁ + 4r)·5/2

2·a₁ + 4r = 20

Já a PG infinita tem razão q e soma 12, logo:

12 = a₁/(1 - q)

Se a₁ < 10 e q = r², teremos:

12 = a₁/(1 - r²)

a₁ = 12 - 12r²

2·a₁ + 4r = 20

2·(12 - 12r²) + 4r = 20

24 - 24r² + 4r - 20 = 0

-24r² + 4r + 4 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, encontramos r' = -1/3 e r'' = 1/2. Como q = r²:

q' = (-1/3)² = 1/9

q'' = (1/2)² = 1/4

Para q':

12 = a₁/(1 - 1/9)

a₁ = 10,67 > 10

Para q'':

12 = a₁/(1 - 1/4)

a₁ = 9

Logo, a PG tem primeiro termo 9 e razão 1/4, logo, a soma dos 4 primeiros termos será:

S₄ = 9 + 9/4 + 9/16 + 9/64

S₄ = (576 + 144 + 36 + 9)/64

S₄ = 765/64

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