Question

O triângulo abc é retângulo, com ângulo reto em a. A hipotenusa bc mede 7. A área do triângulo abc é 8. Qual é o perímetro do triângulo abc?.

Answer 1

Utilizando relações de área e o teorema de Pitágoras, pode-se dizer que o perímetro do triângulo dado é de 16 unidades de comprimento.

Área e perímetro de um triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é o triângulo no qual um de seus ângulos internos é dado como reto, ou seja, tem 90°.

Para calcular a área de um triângulo retângulo, tem-se a seguinte equação:

$\boxed{A=\frac{B.H}{2}}$

Onde b é a base, e h a altura.

E seu perímetro é dado pela soma de todos os comprimentos de seus lados.

Para a questão dada, temos que:

Para a área do triângulo retângulo dado, tem-se:

$A=8\\\\8=\frac{B.H}{2}\\\\16=B.H$

E agora pode-se utilizar o teorema de Pitágoras, dado por:

$\boxed{x^2=y^2+z^2}$

Em que x é a hipotenusa de um triângulo retângulo, e y e z, os catetos.

$7^2=H^2+B^2$

Portanto, agora tem-se duas equações.

Temos também a seguinte relação de produto notável:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=x^2+y^2+2xy\\\\(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\\\\\boxed{x^2+y^2=(x+y)^2-2xy}$

Aplicando-a na segunda equação descoberta, temos:

$(B+H)^2-2B.H=49\\\\(B+H)^2-2.16=49\\\\B+H=9$

Agora, para calcular o perímetro, basta somar B+H com a hipotenusa do triângulo:

B+H+7=9+7

Perímetro=16

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