Uma das revoluções que aconteceram na matemática foi o estudo do infinito, ampliando as noções com a proposição de que há diferentes estruturas nos diversos conjuntos infinitos. Georg Cantor estudou a matemática do infinito, definindo o que denominou como “números transfinitos”, partindo do conceito de conjunto enumerável. Qual das alternativas a seguir está correta?
O conjunto dos números racionais não tem a mesma cardinalidade do que o conjunto dos números naturais porque é enumerável.
O conjunto dos números racionais tem a mesma cardinalidade do que o conjunto dos números naturais porque é enumerável.
O conjunto dos números reais tem a mesma cardinalidade do que o conjunto dos números naturais porque é enumerável.
O conjunto dos números reais tem a mesma cardinalidade do que o conjunto dos números naturais porque não é enumerável.
O conjunto dos números reais não tem a mesma cardinalidade do que o conjunto dos números naturais porque é enumerável.

Respostas

respondido por: sonalemabrasil

Resposta:

O conjunto dos números reais tem a mesma cardinalidade do que o conjunto dos números naturais porque não é enumerável.

Explicação passo a passo:

gislainebrazao1: Fiz e acertei

respondido por: silvapgs50

Em relação aos conceitos de conjuntos infinitos enumeráveis e não enumeráveis, podemos afirmar que o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números naturais são ambos enumeráveis, alternativa B.

Conjuntos

Quando temos dois conjuntos finitos dizemos que a cardinalidade é a quantidade de elementos, por exemplo, A = {1, 2, 3} e B = {4, 6, 9} possuem a mesma cardinalidade, pois ambos possuem três elementos.

Esse conceito é mais complexo quando tratamos de conjuntos infinitos, pois não podemos associar a quantidade de elementos a um número natural.

Para resolver esse problema foram criados os conceitos de conjuntos enumeráveis e não enumeráveis, também conhecidos como conjuntos contáveis e não contáveis. Nesse caso, dizemos que:

Um conjunto S é enumerável ou contável quando existe uma função bijetora do conjunto dos naturais no conjunto S. Intuitivamente, temos que, um conjunto é enumerável se podemos organizar todos os seus elementos de forma a identificar a posição de cada elemento utilizando um número natural.
Um conjunto S é não enumerável ou não contável quando não é possível escrever uma função bijetora dos naturais em S.

Podemos listar os seguintes exemplos de conjuntos enumeráveis, os quais dizemos que possuem a mesma cardinalidade:

Conjunto dos naturais, conjunto dos inteiros, conjunto dos naturais positivos e conjunto dos racionais.

Para demonstrar um conjunto é enumerável basta exibir uma função bijetora $\mathbb{N} \rightarrow S$ , por exemplo:

$f: \mathbb{N} \rightarrow 2\mathbb{N}\\f(x) = 2x$

Essa função prova que o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números naturais pares possuem a mesma cardinalidade.

Como exemplos de conjuntos não enumeráveis temos

O conjunto dos irracionais, o intervalo (0, 1) e o conjunto dos números reais.

Para provar que um conjunto é não enumerável devemos provar que não existe função bijetora $f: \mathbb{N} \rightarrow S$ . Um dos métodos utilizados para essa verificação é a diagonal de Cantor.