Question

Determine o numero de termos da pg(3,1/3,1/27...1/19.683

Answer 1

Utilizando as relações de razão de uma PG e do termo geral de uma PG, tem-se que a progressão geométrica dada por (3, 1/3, 1/27, ..., 1/19.683) tem um total de 6000069362 termos

Número de termos de uma Progressão Geométrica (P.G)

Uma progressão geométrica, na matemática, é dada como uma sequência de n termos, dos quais o próximo termo da sequência é a multiplicação do anterior por uma razão.

A razão de uma PG é dada por:

$\boxed{q=\frac{a_n}{a_{n-1}}}$

E a equação do termo geral de uma PG é dada por:

$\boxed{a_n=a_1.q^{n-1}}$

Com isso, para o problema da sequência dada, tem-se que:

(3, 1/3, 1/27 , ... , 1/19.683)

Onde o termo an=1/19.683, o termo a1=3 e a razão é calculada pela equação dada.

$q=\frac{\frac{1}{3}}{3}=\frac{1}{9}$

Portanto, aplicando os dados na equação do termo geral de uma progressão geométrica:

$\frac{1}{19.686}=3*(\frac{1}{9})^{n-1}$

Agora, para isolar n, deve-se usar o logaritmo natural.

$\ln(\frac{1}{59.058})= \ln(\frac{1}{9})^{n-1}\\\\\ln(\frac{1}{59.058})=(n-1)* \ln(1/9)\\\\\frac{ \ln(\frac{1}{59.058})}{\ln(\frac{1}{9})}=n-1\\\\n=6000069362$

Portanto, a PG dada tem 6000069362 termos.

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