Question

13) Na imagem a seguir, observe os triângulos ABC e AOC e a circunferência.

Determine a medida do ângulo OCB.

Answer 1

O ângulo $O\hat{C}B$ vale $20^{\circ}$.

Essa é uma questão sobre ângulos de um triângulo inscrito na circunferência.

Primeiro, vamos olhar para o triângulo $\triangle{AOC}$. Nesse triângulo, os lados $\overline{OA}$ e $\overline{OC}$ são iguais, pois são o raio da circunferência.

Um triângulo que possui dois lados iguais é chamado de triângulo isósceles, e tem a seguinte propriedade:

• Em um triângulo isósceles, os ângulos formados entre os lados iguais e a base são congruentes (iguais).

De acordo com essa propriedade, o ângulo $\boxed{C\hat{A}O=A\hat{C}O=70^{\circ}}$, conforme imagem em anexo.

Como o soma dos ângulo internos de um triângulo é 180°, temos:

$C\hat{A}O+A\hat{C}O+A\hat{O}C=180^{\circ}\\\\70^{\circ}+70^{\circ}+A\hat{O}C=180^{\circ}\\\\140^{\circ}+A\hat{O}C=180^{\circ}\\\\A\hat{O}C=180^{\circ}-140^{\circ}\\\\\boxed{A\hat{O}C=40^{\circ}}$

Agora, vamos olhar para o triângulo $\triangle{COB}$

Esse triângulo também é isósceles, pois os lados $\overline{OC}$ e $\overline{OB}$ são iguais e valem o raio da circunferência.

Pela propriedade vista acima, os ângulo da base são iguais, então:

$O\hat{C}B=O\hat{B}C$

Veja também que o segmento $\overline{AB}$ é o diâmetro da circunferência. Então, $A\hat{O}C$ e $C\hat{O}B$ são ângulos suplementares, ou seja, sua soma é 180°.

$A\hat{O}C+C\hat{O}B=180^{\circ}\\\\40^{\circ}+C\hat{O}B=180^{\circ}\\\\C\hat{O}B=180^{\circ}-40^{\circ}\\\\\boxed{C\hat{O}B=140^{\circ}}$

O somatório dos ângulo internos do triângulo $\triangle{COB}$ é 180°:

$O\hat{C}B+O\hat{B}C+C\hat{O}B=180^{\circ}\\\\\\O\hat{C}B+O\hat{B}C+140^{\circ}=180^{\circ}\\\\O\hat{C}B+O\hat{B}C=180^{\circ}-140^{\circ}\\\\O\hat{C}B+O\hat{B}C=40^{\circ}$

Porém, $O\hat{C}B=O\hat{B}C$:

$2\cdot O\hat{C}B=40^{\circ}\\\\O\hat{C}B=\dfrac{40^{\circ}}{2} \\\\\boxed{\boxed{O\hat{C}B=20^{\circ}}}$

Portanto, o ângulo $O\hat{C}B$ vale $20^{\circ}$.

Saiba mais sobre ângulos do triângulo inscrito em:

https://brainly.com.br/tarefa/32551155

https://brainly.com.br/tarefa/42622346

Answer 2

O ângulo OĈB medo 20°.

Consideração

• Por não ter sido mencionado no enunciado, considere o ponto O centro da circunferência.

Definições

• Ângulo central é aquele cujo vértice está no centro da circunferência, portanto o ângulo AOB é central e é relativo ao arco AB.
• Ângulo inscrito é aquele cujo vértice está na circunferência, portanto o ângulo ACB é inscrito na circunferência e é relativo ao arco AB.
• Ângulos complementares são aqueles cuja soma de suas medidas resulta 90°.

Propriedades

• Propriedade  do ângulo central: (P₁) A medida do ângulo central é igual à medida do arco relativo a ele.
• Propriedade do ângulo inscrito: (P₂) A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco relativo a ele.
• Um triângulo isósceles possui dois lados congruente e dois ângulos congruentes adjacentes à sua base.

Resolução

Se O é centro da circunferência então:

• OA, OB e OC são raios da circunferência.
• AB é diâmetro da circunferência e portanto o arco AB (ncah) mede 180°.

• Se OA e OC são raios da circunferência então eles são congruentes, o triângulo AOC é isósceles e seus ângulos da base (AC) são congruentes, portanto:

m(∠OAC) = m(∠ACO) = 70°

• Observe que o ângulo ACB é inscrito na circunferência e relativo ao arco AB (180°), portanto conforme propriedade P₂, a medida do ângulo ACB é a metade da medida do arco AB.

m(∠ACB) = 180 ÷ 2

m(∠ACB) = 90°

Determine a medida do ângulo OCB.

• Se o ângulo ACB mede 90° então os ângulo ACO e OCB São complementares:

m(∠ACO) + m(∠OCB) = 90° ⟹ Substitua a medida de AĈO.

70 + m(∠OCB) = 90° ⟹ Subtraia 70 de ambos os membros.

m(∠OCB) = 20°

Nomenclatura

ncah: notação cíclica anti-horária.

m(∠OCB): medida do ângulo OĈB.

Aprenda mais:

• https://brainly.com.br/tarefa/42804140
• https://brainly.com.br/tarefa/46702381
• https://brainly.com.br/tarefa/44192536
• https://brainly.com.br/tarefa/45266012