• Matéria: Matemática
  • Autor: lalessia
  • Perguntado 2 anos atrás

13) Na imagem a seguir, observe os triângulos ABC e AOC e a circunferência.

Determine a medida do ângulo OCB.

Anexos:

Respostas

respondido por: 1Archimidean1
9

O ângulo O\hat{C}B vale 20^{\circ}.

Essa é uma questão sobre ângulos de um triângulo inscrito na circunferência.

Primeiro, vamos olhar para o triângulo \triangle{AOC}. Nesse triângulo, os lados \overline{OA} e \overline{OC} são iguais, pois são o raio da circunferência.

Um triângulo que possui dois lados iguais é chamado de triângulo isósceles, e tem a seguinte propriedade:

  • Em um triângulo isósceles, os ângulos formados entre os lados iguais e a base são congruentes (iguais).

De acordo com essa propriedade, o ângulo \boxed{C\hat{A}O=A\hat{C}O=70^{\circ}}, conforme imagem em anexo.

Como o soma dos ângulo internos de um triângulo é 180°, temos:

C\hat{A}O+A\hat{C}O+A\hat{O}C=180^{\circ}\\\\70^{\circ}+70^{\circ}+A\hat{O}C=180^{\circ}\\\\140^{\circ}+A\hat{O}C=180^{\circ}\\\\A\hat{O}C=180^{\circ}-140^{\circ}\\\\\boxed{A\hat{O}C=40^{\circ}}

Agora, vamos olhar para o triângulo \triangle{COB}

Esse triângulo também é isósceles, pois os lados \overline{OC} e \overline{OB} são iguais e valem o raio da circunferência.

Pela propriedade vista acima, os ângulo da base são iguais, então:

O\hat{C}B=O\hat{B}C

Veja também que o segmento \overline{AB} é o diâmetro da circunferência. Então, A\hat{O}C e C\hat{O}B são ângulos suplementares, ou seja, sua soma é 180°.

A\hat{O}C+C\hat{O}B=180^{\circ}\\\\40^{\circ}+C\hat{O}B=180^{\circ}\\\\C\hat{O}B=180^{\circ}-40^{\circ}\\\\\boxed{C\hat{O}B=140^{\circ}}

O somatório dos ângulo internos do triângulo \triangle{COB} é 180°:

O\hat{C}B+O\hat{B}C+C\hat{O}B=180^{\circ}\\\\\\O\hat{C}B+O\hat{B}C+140^{\circ}=180^{\circ}\\\\O\hat{C}B+O\hat{B}C=180^{\circ}-140^{\circ}\\\\O\hat{C}B+O\hat{B}C=40^{\circ}

Porém, O\hat{C}B=O\hat{B}C:

2\cdot O\hat{C}B=40^{\circ}\\\\O\hat{C}B=\dfrac{40^{\circ}}{2} \\\\\boxed{\boxed{O\hat{C}B=20^{\circ}}}

Portanto, o ângulo O\hat{C}B vale 20^{\circ}.

Saiba mais sobre ângulos do triângulo inscrito em:

https://brainly.com.br/tarefa/32551155

https://brainly.com.br/tarefa/42622346

Anexos:
respondido por: procentaury
7

O ângulo OĈB medo 20°.

Consideração

  • Por não ter sido mencionado no enunciado, considere o ponto O centro da circunferência.

Definições

  • Ângulo central é aquele cujo vértice está no centro da circunferência, portanto o ângulo AOB é central e é relativo ao arco AB.
  • Ângulo inscrito é aquele cujo vértice está na circunferência, portanto o ângulo ACB é inscrito na circunferência e é relativo ao arco AB.
  • Ângulos complementares são aqueles cuja soma de suas medidas resulta 90°.

Propriedades

  • Propriedade  do ângulo central: (P₁) A medida do ângulo central é igual à medida do arco relativo a ele.
  • Propriedade do ângulo inscrito: (P₂) A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco relativo a ele.
  • Um triângulo isósceles possui dois lados congruente e dois ângulos congruentes adjacentes à sua base.

Resolução

Se O é centro da circunferência então:

  • OA, OB e OC são raios da circunferência.
  • AB é diâmetro da circunferência e portanto o arco AB (ncah) mede 180°.

  • Se OA e OC são raios da circunferência então eles são congruentes, o triângulo AOC é isósceles e seus ângulos da base (AC) são congruentes, portanto:

m(∠OAC) = m(∠ACO) = 70°

  • Observe que o ângulo ACB é inscrito na circunferência e relativo ao arco AB (180°), portanto conforme propriedade P₂, a medida do ângulo ACB é a metade da medida do arco AB.

m(∠ACB) = 180 ÷ 2

m(∠ACB) = 90°

Determine a medida do ângulo OCB.

  • Se o ângulo ACB mede 90° então os ângulo ACO e OCB São complementares:

m(∠ACO) + m(∠OCB) = 90° ⟹ Substitua a medida de AĈO.

70 + m(∠OCB) = 90° ⟹ Subtraia 70 de ambos os membros.

m(∠OCB) = 20°

Nomenclatura

ncah: notação cíclica anti-horária.

m(∠OCB): medida do ângulo OĈB.

Aprenda mais:

  • https://brainly.com.br/tarefa/42804140
  • https://brainly.com.br/tarefa/46702381
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Anexos:

Anônimo: Very nice
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