Question

realize o estudo do sinal da função definida por :
A) f(x) = x^2 - 6x + 8
B) f(x) = - x^2 + 9 ​

Answer 1

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de estudo do sinal  da função quadrática que:

a)

$\sf f(x) > 0\implies x < 2\,ou\,x > 4\\\sf f(x) < 0\implies 2 < x < 4$✅

b)

$\sf f(x) > 0\implies -3 < x < 3\\\sf f(x) < 0\implies x < -3\,ou\,x > 3$ ✅

Função

Chama-se função a relação biunívoca que existe entre dois conjuntos , ou seja, para cada elemento pertencente ao primeiro conjunto existe um e somente um correspondente no segundo conjunto. Por exemplo a relação $\sf f: A\longrightarrow B, f(x)=x+1$ onde o conjunto A={1,2,3,4} e o conjunto B={2,3,4,5} é uma função do conjunto A no conjunto B.

Função quadrática ou do 2º grau

Chama-se função quadrática  a toda função que assume a forma

$\sf f(x)=ax^2+bx+c,a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0$.

Raízes da função quadrática

As raízes ou zeros da função quadrática são os valores de x tal que f(x)=0. Estas raízes podem ser calculadas assim:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\sf\Delta=b^2-4ac\end{array}}$

Para realizar o estudo do sinal é necessário conhecer as raízes e ficar atento para o sinal do termo a, pois depende dele a variação do sinal da mesma. Sendo $\sf x_1$ e $\sf x_2$ as raízes da função onde o a>0 temos a seguinte consideração:

$\sf f(x) > 0\implies x < x_1\,ou\,x > x_2\\\sf f(x) < 0\implies x_1 < x < x_2$

Se a<0 temos a seguinte consideração:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x) > 0\implies x_1 < x < x_2\\\sf f(x) < 0\implies x < x_1\,ou\,x > x_2\end{array}}$

✍️Vamos a resolução do exercício

a)  Cálculo das raízes;

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=0\\\sf x^2-6x+8=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8\\\sf\Delta=36-32\\\sf\Delta=4\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}\\\\\sf x=\dfrac{6\pm2}{2}\begin{cases}\sf x_1=\dfrac{6+2}{2}=\dfrac{8}{2}=4\\\\\sf x_2=\dfrac{6-2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\end{cases}\end{array}}$

Estudo do sinal:

Perceba que a=1>0. portanto temos a seguinte consideração:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x) > 0\implies x < 2\,ou\,x > 4\\\sf f (x) < 0\implies 2 < x < 4\end{array}}$

b) Cálculo das raízes

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=0\\\sf -x^2+9=0\\\sf -x^2=-9\cdot(-1)\\\sf x^2=9\\\sf x=\pm\sqrt{3}\\\sf x=\pm3\\\sf x_1=-3\,x_2=3\end{array}}$

Estudo do sinal:

note que a=-1<0. Temos a seguinte consideração:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x) > 0\implies -3 < x < 3\\\sf f(x) < 0\implies x < -3\,ou\,x > 3\end{array}}$
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