Question

Determine o valor de x para que os números log₂8, log₂(x+9) e log₂(x+7) estejam nessa ordem em PA. ​

Answer 1

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante aos conhecimentos de progressões aritméticas e logaritmos que o x=-5✅

Progressão aritmética

Chama-se progressão aritmética a toda sequência onde cada termo, a partir do segundo , é igual ao termo anterior somado a uma constante chamado razão da progressão.

• exemplo; a sequência (1,12,23,34) é uma PA de razão r=11

Logaritmo

Chama-se logaritmo de um número real b positivo na base a, positiva e diferente de 1, ao expoente x a qual se deve elevar a para obter b.

matematicamente:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf \log_ab=x\iff a^x=b~\begin{cases}\sf b > 0\\\sf a > 0\\\sf a\ne1\end{cases}\end{array}}$

Propriedades operatórias dos logaritmos

• logaritmo do produto:

$\huge\boxed{\begin{array}{l}\sf \log_c(a\cdot b)=\log_ca+\log_cb\end{array}}$

• logaritmo do quociente

$\huge\boxed{\begin{array}{l}\sf\log_c\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)=\log_ca-\log_cb\end{array}}$

• logaritmo da potência

$\huge\boxed{\begin{array}{l}\sf \log_ba^n=n\cdot \log_ba\end{array}}$

• mudança de base:

$\huge\boxed{\begin{array}{l}\sf \log_ba=\dfrac{\log_ca}{\log_cb}\end{array}}$

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui iremos utilizar a definição de PA em conjunto com as propriedades operatórias dos logaritmos para encontrar o valor de x.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf(\log_28,\log_2(x+9),\log_2(x+7))\\\sf a_1=\log_28=3\\\sf a_2=\log_2(x+9)\\\sf a_3=\log_2(x+7)\\\sf a_2-a_1=a_3-a_2\\\sf \log_2(x+9)-3=\log_2(x+7)-\log_2(x+9)\\\sf \log_2(x+9)+\log_2(x+9)-\log_2(x+7)=3\\\sf \log_2\bigg(\dfrac{(x+9)^2}{(x+7)}\bigg)=3\\\\\sf\dfrac{(x+9)^2}{(x+7)}=2^3\\\\\sf (x+9)^2=8\cdot(x+7)\\\sf x^2+18x+81=8x+56\\\sf x^2+18x-8x+81-56=0\\\sf x^2+10x+25=0\\\sf (x+5)^2=0\\\sf x+5=\sqrt{0}\\\sf x+5=0\\\sf x=-5\end{array}}$

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