Question

No semicírculo a seguir temos AB= 4cm e AC = 2cm. Determine o valor, em centímetros quadrados, da área sombreada. B A) Aproximadamente 2,89. B) Aproximadamente 2,82. C) Aproximadamente 5,64. D) Aproximadamente 3,49.​

Answer 1

Resposta:

Alternativa B

Explicação passo a passo:

Primeiramente observe que a área sombreada é igual a área do semicírculo menos a do triângulo retângulo, ou seja,

$A_S = A_C - A_T$

Agora, vamos calcular $A_C$ e $A_T$.

1. A área de um semicírculo é $A = \frac{\pi r^2}{2}$, assim, como $r = \frac{\overline{AB}}{2} = 2cm$, segue que

$A_C = 2\pi\, cm^2$

2. A área de um triângulo é $A = \frac{\text{base}\times \text{altura}}{2}$, desta maneira, precisamos determinar o cateto $\overline{BC}$ do triângulo $ABC$. Para isso, basta aplicar o teorema de Pitágoras,

$\begin{aligned}\overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 &\iff 4^2 = 2^2 + \overline{BC}^2 \\&\iff 16 = 4 + \overline{BC}^2 \\&\iff \overline{BC}^2 = 12\\&\iff \overline{BC} = 2\sqrt{3}\, cm\end{aligned}$

Logo,

$A_T = \frac{2 \times 2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\, cm^2$

Por fim, basta resolvermos as contas

$A = 2\pi - 4\sqrt{3} = (2\times 3.14) - (2\times 1.73) = 2.82\, cm^2$