Question

Lista de exercícios - VIII UFRN

Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

C)
$\largeY=\dfrac{2}{x^2}\cdot arcsen(2x)$

Answer 1

✅ A derivada de Y é

$\large\begin{array}{lr}\rm \dot{Y} = \dfrac{4x -4\arcsin(2x)\sqrt{1+4x^2}}{x^3\sqrt{1+4x^2}} \end{array}$

 

Depois passo tudo pro TeX

Answer 2

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função  $Y=\dfrac{2}{x^2} \cdot arcsen(2x)$ é  

$\large\text{ \boxed{2\cdot \left(\dfrac{2x\cdot arcsen(2x)-x^2\cdot\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2} } }{(x^2)^2}\right)} }$

Na forma mais simplificada temos

$\large\text{ \boxed{\boxed{\left(\dfrac{4\cdot\left( arcsen(2x)\cdot \sqrt{1-4x^2} -x\right)}{\sqrt{1-4x^2} \cdot x^3}\right)}} }$

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$Y=\dfrac{2}{x^2} \cdot arcsen(2x)$

Para derivar essa função podemos transformar essa multiplicação em uma fração para usarmos a regra do quociente

$\dfrac{2}{x^2} \cdot arcsen(2x)\Rightarrow \boxed{\dfrac{2arcsen (2x)}{x^2} }$

Antes de começarmos vamos relembrar algumas propriedade da derivação para facilitar o nosso calculo

• Constante multiplicando uma variável na derivada

         $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\cdot X\right)= C\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(X\right) }$

• Derivada de uma Variável sendo elevada a uma constante

          $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left( X^C\right)= C\cdot X^{C-1} }$

• Derivada do arcoseno(x)

         $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(arcsen(x)\right)= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2} } }$

• Regra do quociente

        $\boxed{\left(\frac{f}{g}\right)^{'}=\frac{f\:'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}}$

• Regra da cadeia

         $\boxed{(F(g(x)))^{'}=F(g(x))' \cdot g'(x)}$

Com isso em mente vamos resolver a derivada

$\large\dfrac{dy}{dx}\left(\dfrac{2arcsen(2x)}{x^2} \right)\Rightarrow 2\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(\dfrac{arcsen(2x)}{x^2}\right)\Rightarrow$

$\large\text{ \boxed{2\cdot \left(\dfrac{\dfrac{dy}{dx}\left(x^2\right)\cdot arcsen(2x)-x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}\left(arcsen(2x)\right)}{(x^2)^2}\right)} }$

Bem agora temos que fazer duas derivadas e em seguida se possivel simplificar a expressão

Vamos fazer aqui separadamente e depois substituirmos na equação

• Derivada de $X^2$

$\large\dfrac{dy}{dx}\left(x^2\right)\Rightarrow \boxed{2x}$

• Derivada de arcoseno(2x)

$\large\dfrac{dy}{dx}\left(arcsen(2x)\right)\Rightarrow \dfrac{dy}{du}\left(arcsen(u)\right)\cdot \dfrac{du}{dx}(2x) \Rightarrow$

$\large\text{ \left(\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2} } \right)\cdot2 \Rightarrow \left(\dfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2} } \right)\Rightarrow \boxed{\left(\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2} } \right)} }$

Substituindo no problema  temos:

$\large\text{ \boxed{2\cdot \left(\dfrac{2x\cdot arcsen(2x)-x^2\cdot\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2} } }{(x^2)^2}\right)} }$

Ja derivamos a função, agora vamos simplificar essa expressão pra deixar a resposta organizada

$\large\text{ 2\cdot \left(\dfrac{2x\cdot arcsen(2x)-x^2\cdot\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2} } }{(x^2)^2}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \boxed{ 2\cdot \left(\dfrac{2x\cdot arcsen(2x)-\dfrac{2x^2}{\sqrt{1-4x^2} } }{(x^4)}\right)\Rightarrow} }$

Perceba que no numerador temos uma subtração de frações, então vamos  fazer o MMC

$2x\cdot arcsen(2x)-\dfrac{2x^2}{\sqrt{1-4x^2} }\Rightarrow \boxed{\dfrac{2x\cdot arcsen(2x)\cdot \sqrt{1-4x^2} -2x^2}{\sqrt{1-4x^2} }}$

Voltando pro nosso problema temos

$\large\text{ 2\cdot \left(\dfrac{ \dfrac{2x\cdot arcsen(2x)\cdot \sqrt{1-4x^2} -2x^2}{\sqrt{1-4x^2} }}{(x^4)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot \left(\dfrac{2x\cdot arcsen(2x)\cdot \sqrt{1-4x^2} -2x^2}{\sqrt{1-4x^2} \cdot x^4}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot 2x\cdot \left(\dfrac{1\cdot arcsen(2x)\cdot \sqrt{1-4x^2} -x}{\sqrt{1-4x^2} \cdot x^4}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 4x\cdot \left(\dfrac{1\cdot arcsen(2x)\cdot \sqrt{1-4x^2} -x}{\sqrt{1-4x^2} \cdot x^4}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 4\cdot \left(\dfrac{1\cdot arcsen(2x)\cdot \sqrt{1-4x^2} -x}{\sqrt{1-4x^2} \cdot x^3}\right) }\Rightarrow$

$\large\text{ \boxed{\left(\dfrac{4\cdot\left( arcsen(2x)\cdot \sqrt{1-4x^2} -x\right)}{\sqrt{1-4x^2} \cdot x^3}\right)} }$

Essa é a forma mais simplificada da expressão