Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

E)
$\largeY=x^{2x}$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função   $Y=x^{2x}$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{2x^{2x}\cdot (\ln(x)+1)}} }$

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$\largeY=x^{2x}$

Perceba que temos que derivar uma função elevada a outra função, e quando temos esse tipo de derivada temos que usar a seguinte equação

• Derivada de uma função elevada a outra função

$\large\text{ \boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(F(x)^{G(x)}\right)= F(x)^{G(x)}\cdot\left(G'(x)\cdot \ln(F(x))+G(x)\cdot \dfrac{F'(x)}{F(x)} \right)} }$

Substituindo na equação temos

$\large\text{ x^{2x}\cdot\left((2x)'\cdot \ln(x)+2x\cdot \dfrac{(x)'}{x} \right)\Rightarrow \boxed{x^{2x}\cdot\left(2\cdot \ln(x)+2x\cdot \dfrac{1}{x} \right)} }$

Aqui ja achamos a derivada, agora vamos apenas simplificar a expressão

$\large x^{2x}\cdot\left(2\cdot \ln(x)+2x\cdot \dfrac{1}{x} \right)\Rightarrow x^{2x}\cdot\left(2\cdot \ln(x)+ \dfrac{2x}{x} \right)\Rightarrow$

$\large\text{ x^{2x}\cdot\left(2\cdot \ln(x)+ 2)\Rightarrow x^{2x}\cdot 2\cdot (\ln(x)+1)\Rightarrow \boxed{2x^{2x}\cdot (ln(x)+1)} }$

Assim concluímos que a derivada da função $Y=x^{2x}$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{2x^{2x}\cdot (\ln(x)+1)}} }$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada primeira da referida função é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f'(x) = 2x^{2x}\cdot\left[\ln(x) + 1\right]\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função dada:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = x^{2x}\end{gathered}$

Fazendo:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Então, podemos reescrevera função original como:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{2x}\end{gathered}$

Observe que a função "f(x)" é igual a uma potência de outra função, isto é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = g(x)^{h(x)}\end{gathered}$

Desse modo temos:

                       $\Large\begin{cases} g(x) = x\\h(x) = 2x\end{cases}$

Para calcularmos a derivada primeira de f(x), devemos fazer:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} f'(x) = g(x)^{h(x)}\cdot\bigg\{h'(x)\cdot\ln\left[g(x)\right] + h(x)\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}\bigg\}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = x^{2x}\cdot\bigg\{1\cdot2\cdot x^{1 - 1}\cdot\ln(x) + 2x\cdot\frac{1\cdot x^{1 - 1}}{x}\bigg\}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = x^{2x}\cdot\bigg\{2\cdot x^{0}\cdot\ln(x) + 2x\cdot\frac{1\cdot x^{0}}{x}\bigg\}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = x^{2x}\cdot\bigg\{2\cdot1\cdot\ln(x) + 2x\cdot\frac{1\cdot1}{x}\bigg\}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = x^{2x}\cdot\bigg\{2\ln(x) + \frac{2x}{x}\bigg\}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = x^{2x}\cdot\{2\ln(x) + 2\}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = x^{2x}\cdot2\cdot\left[\ln(x) + 1\right]\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2x^{2x}\cdot\left[\ln(x) + 1\right]\end{gathered}$

✅ Portanto, a derivada procurada é:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}f'(x) = 2x^{2x}\cdot\left[\ln(x) + 1\right]\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$