Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

F)
$\largeY=\left(Sen(x)\right)^{Cos(x)}$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função   $Y=Sen(x)^{Cos(x)}$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{Sen(x)^{Cos(X)}\cdot\left(-Sen(x)\cdot \ln(Sen(x)+Cot(x)\cdot Cos(x)\right)}} }$

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$Y=Sen(x)^{Cos(x)}$

Perceba que temos que derivar uma função elevada a outra função, e quando temos esse tipo de derivada temos que usar a seguinte equação

• Derivada de uma função elevada a outra função

$\large\text{ \boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(F(x)^{G(x)}\right)= F(x)^{G(x)}\cdot\left(G'(x)\cdot \ln(F(x))+G(x)\cdot \dfrac{F'(x)}{F(x)} \right)} }$

Agora antes de começarmos basta lembrarmos  de algumas propriedades

• Derivada do seno

        $\large\text{ \boxed{\dfrac{dy}{dx}(Sen(x))= Cos(x)} }$

• Derivada do Cosseno

        $\large\text{ \boxed{\dfrac{dy}{dx}(Cos(x))= -Sen(x)} }$

• Definição de cotagente

         $\large\text{ \boxed{Cot= \frac{Cos(x)}{Sen(x)} } }$

Basta resolvermos a derivada

$\large\dfrac{dy)}{dx}\left(Sen(x)^{Cos(x)}\right) \Rightarrow$

$\largeSen(x)^{Cos(x)}\cdot\left((Cos(x))'\cdot \ln(Sen(x))+Cos(x)\cdot \dfrac{(Sen(x))'}{Sen(x)} \right)\Rightarrow$

$\largeSen(x)^{Cos(x)}\cdot\left(-Sen(x)\cdot \ln(Sen(x))+Cos(x)\cdot \dfrac{Cos(x)}{Sen(x)} \right)\Rightarrow$

$\large\text{ \boxed{Sen(x)^{Cos(x)}\cdot\left(-Sen(x)\cdot \ln(Sen(x))+Cos(x)\cdot Cot(x) \right)} }$

Então podemos concluir que a derivada da função $Y=Sen(x)^{Cos(x)}$  é

$\large\text{ \boxed{Sen(x)^{Cos(x)}\cdot\left(-Sen(x)\cdot \ln(Sen(x))+Cos(x)\cdot Cot(x) \right)} }$

Answer 2

Resposta:     $\dfrac{dy}{dx}=\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}\cdot \left[-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \left(\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+1\right)+\mathrm{cossec}(x)\right]$

Explicação passo a passo:

Para derivar compostas de exponenciais, uma estratégia que pode simplificar a resolução sem a necessidade de memorizar fórmulas é tomar o logaritmo de ambos os lados e derivar implicitamente, utilizando a regra da cadeia:

     $y=\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \ln(y)=\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}\right]$

Reescreva o lado direito utilizando a propriedade do logaritmo de uma potência:

     $\Longleftrightarrow\quad \ln(y)=\cos(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]$

Derive ambos os lados com respeito a x, considerando y como uma função de x (derivação implícita):

     $\Longrightarrow\quad \dfrac{d}{dx}[\ln(y)]=\dfrac{d}{dx}\left[\cos(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right]$

No lado esquerdo, derive aplicando a regra da cadeia:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left[\cos(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right]$

No lado direito, derive aplicando a regra para a derivada do produto:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\!\left[\cos(x)\right]\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\cos(x)\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left[\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\cos(x)\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left[\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right]$

Aplique novamente a regra da cadeia para encontrar a derivada que falta no lado direito:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\cos(x)\cdot \left[\dfrac{1}{\mathrm{sen}(x)}\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\right]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)}\cdot \dfrac{d}{dx}\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)}\cdot \cos(x)$

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{\cos^2(x)}{\mathrm{sen}(x)}$

Pela Relação Trigonométrica Fundamental, podemos substituir $\cos^2(x)=1-\mathrm{sen}(x):$

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{1-\mathrm{sen}^2(x)}{\mathrm{sen}(x)}$

Separe as frações no lado direito e simplifique:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\dfrac{1}{\mathrm{sen}(x)}-\dfrac{\mathrm{sen}^2(x)}{\mathrm{sen}(x)}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\mathrm{cossec}(x)-\mathrm{sen}(x) \\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]-\mathrm{sen}(x)+\mathrm{cossec}(x)$

Coloque o fator comum em evidência no lado direito:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \left(\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+1\right)+\mathrm{cossec}(x)$

Substitua de volta $y=\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}:$

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}}\cdot \dfrac{dy}{dx}=-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \left\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+\mathrm{cossec}(x)-\mathrm{sen}(x)$

Isole $\dfrac{dy}{dx}$ no lado esquerdo e finalmente obtemos:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{dy}{dx}=\mathrm{sen}(x)^{\cos(x)}\cdot \left[-\,\mathrm{sen}(x)\cdot \left(\ln\!\left[\mathrm{sen}(x)\right]+1\right)+\mathrm{cossec}(x)\right]$

sendo esta a resposta.

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Bons estudos!