Question

Use o teorema do confronto para mostrar que $\lim_{n \to \infty} \frac{sen^2x}{x^2+1}=0$.

Answer 1

Resposta: De acordo com o teorema do confronto podemos mostrar que o valor deste limite é igual a 0.

Queremos provar usando o teorema do confronto que o seguinte limite é:

$\sf\underset{x\to\infty}{ lim}~\underbrace{\sf\dfrac{sen^2~{x}}{x^2+1}}_{\sf f(x)}~=~0$

No cálculo de limites este teorema é amplamente utilizado para resolver limites muito complexos que incluem funções trigonométricas de forma mais simples e direta. Este teorema afirma que se duas funções se aproximam do mesmo limite em um ponto, qualquer outra função que possa ser limitada entre as duas acima terá o mesmo limite no ponto.

Vamos começar nossos cálculos, primeiro começamos a encontrar essas duas funções que vão limitar a função f(x) para que possamos olhar para o denominador. Você pode ver que a função trigonométrica encontrada no numerador é sen²x, principalmente na escola eles nos ensinam que a função seno é limitada entre -1 ≤ sen x ≤ 1 enquanto sen²x é limitada em 0 ≤ sen²x ≤ 1. Portanto, as outras duas funções que limitam nossa função f(x) podem ser encontradas dividindo o denominador do nosso limite em ambas as partes da desigualdade de tal forma que obtemos:

$\sf \dfrac{0}{x^2+1}~\leq~\dfrac{sen^2~x}{x^2+1}~\leq~\dfrac{1}{x^2+1}\\\\\\ \sf 0~\leq~\dfrac{sen^2~x}{x^2+1}~\leq~\dfrac{1}{x^2+1}\\\\\\ \sf \underset{x\to\infty}{ lim}~0~\leq~\underset{x\to\infty}{ lim}~\dfrac{sen^2~x}{x^2+1}~\leq~\underset{x\to\infty}{ lim}~\dfrac{1}{x^2+1}$

Só temos que resolver o limite da esquerda e também o da direita pois se os limites da esquerda e da direita são iguais podemos dizer que o limite central também é igual ao mesmo resultado dos dois limites anteriores. Para resolver limites ao infinito devemos dividir a variável com o maior expoente (potência) entre todos os termos do denominador e do numerador.

$\sf \underset{x\to\infty}{ lim}~0~\leq~\underset{x\to\infty}{ lim}~\dfrac{sen^2~x}{x^2+1}~\leq~\underset{x\to\infty}{ lim}~\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}\\\\\\ \sf \underset{x\to\infty}{ lim}~0~\leq~\underset{x\to\infty}{ lim}~\dfrac{sen^2~x}{x^2+1}~\leq~\underset{x\to\infty}{ lim}~\dfrac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}$

Por definição um número dividido por um número bastante grande como o infinito é próximo ou igual a 0, podemos verificar isso dividindo 1 por um número muito grande como 100 ou 1000 e você verá como o resultado fica menor. Desta forma podemos ver que:

$0~\leq~\underset{x\to\infty}{ lim}~\dfrac{sen^2~x}{x^2+1}~\leq~\dfrac{0}{1+0}\\\\\\ \sf 0~\leq~\underset{x\to\infty}{ lim}~\dfrac{sen^2~x}{x^2+1}~\leq~0$

Podemos ver que ambos os limites são iguais a 0, portanto o limite central da função f(x) também é igual a 0 e assim verificamos qual o problema solicitado.

$\boxed{ \sf\underset{x\to\infty}{ lim}~\sf\dfrac{sen^2~{x}}{x^2+1}~=~0}$