Question

A função quadrática, com domínio e contradomínio nos reais, cujo gráfico contém os pontos (0, 5), (4, -7) e (6,5) tem como valor mínimo:
a) -7/4
b) -9
c) -7
d) -17/2
e) 3

Answer 1

Resposta:

d) -17/2

Explicação:

A função quadrática procurada é da forma:

$f(x) = ax^2 + bx + c,$

onde $a, b, c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0.$

Sabemos que seu gráfico passa pelo ponto $(0,5).$ Temos:

$5 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\\\\\Longleftrightarrow \boxed{c = 5.}$

Sabemos ainda que seu gráfico também passa pelos pontos $(4, -7)$ e (6,5). Temos:

$-7 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 5\\\\\Longleftrightarrow -7 = 16a + 4b + 5\\\\\Longleftrightarrow 4b = -16 a -12\\\\\Longleftrightarrow b = -4a -3$

$5 = a \cdot 6^2 + b \cdot 6 + 5\\\\\Longleftrightarrow 36a + 6b = 0\\\\\Longleftrightarrow 36a + 6(-4a-3) = 0\\\\\Longleftrightarrow 36a -24a -18 = 0\\\\\Longleftrightarrow 12a = 18\\\\\Longleftrightarrow a = \boxed{\frac{\big{3}}{\big{2}}.}$

$b = -4a -3\\\\\Longleftrightarrow b = -4 \cdot \left( \frac{\big{3}}{\big{2}}\right) - 3\\\\\Longleftrightarrow \boxed{b = -9.}$

Assim, a função quadrática do problema é:

$\boxed{f(x) = \frac{\big{3}}{\big{2}}x^2 -9x + 5.}$

Calculemos seu valor mínimo:

$y_{min} = -\frac{\big{\Delta}}{\big{4a}}\\\\= -\frac{\big{b^2-4ac}}{\big{4a}}\\\\= -\frac{\big{(-9)^2 - 4\cdot \frac{3}{2} \cdot 5} }{\big{4 \cdot \frac{3}{2}}}\\\\= -\frac{\big{81 - 30}}{\big{6}}\\\\= -\frac{\big{51}}{\big{6}}\\\\= \boxed{\boxed{-\frac{\big{17}}{\big{2}}.}}$