Matéria: Matemática
Autor: accfs1
Perguntado 3 anos atrás

a reta r passa pelo ponto p (5, -1) e é perpendicular à reta s de equação 2x+3y=1 determine a equação da reta r.

Respostas

respondido por: solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação geral da reta "r" que passa pelo ponto "P(5, -1)" e é perpendicular à reta "s: 2x + 3y = 1" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: -3x + 2y + 17 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} P(5, -1)\\s: 2x + 3y = 1\\r:\:?\end{cases}$

Organizando a equação da reta "s", temos:

$\Large\begin{cases} P(5, -1)\\s: 2x + 3y - 1 = 0\\r:\:?\end{cases}$

Para calcular a equação de uma reta que passa por um determinado ponto "P" e que possui um determinado coeficiente angular "mr", devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade" - também chamada de "equação fundamental da reta"- que pode ser representada por:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = m_{r}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r\perp s \Longrightarrow m_{r}\cdot m_{s} = -1 \Longrightarrow m_{r} = -\frac{1}{m_{s}}\end{gathered}$}$

Substituindo "mr" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{P} = -\frac{1}{m_{s}}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$}$

Como organizamos a equação da reta "s" para a sua forma geral...

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} s: \underbrace{2x}_{\bf A} \underbrace{+3y}_{\bf B} \underbrace{-1}_{\bf C} = 0\end{gathered}$}$

...então podemos recuperar seu coeficiente angular da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{s} = -\frac{A}{B} = -\frac{2}{3}\end{gathered}$}$

Portanto, o coeficiente angular da reta "s" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{s} = -\frac{2}{3}\end{gathered}$}$

Substituindo tanto as coordenadas do ponto "P" como o valor do coeficiente angular da reta "s" na equação "II", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (-1) = -\frac{1}{-\dfrac{2}{3}}\cdot(x - 5)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 1 = -1\cdot\frac{3}{-2}\cdot(x - 5)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 1 = \frac{3}{2}\cdot(x - 5)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 1 = \frac{3x}{2} - \frac{15}{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 1 = \frac{3x - 15}{2}\end{gathered}$}$

Chegando nesta etapa, devemos saber qual deve ser a forma final da equação da reta "r". Como não foi informado a forma final, vou deixar a equação da reta "r" em sua forma geral. Para isso, devemos passar todos os termos para o primeiro membro da equação "IV" igualando o segundo membro a "0", ou seja

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2\cdot(y + 1) = 3x - 15\end{gathered}$}$