Question

ao permutarmos todos os algarismos do número 3.235.327 quantos números.

a) são obtidos?

b) menores que 5000000 são obtidos?​

Answer 1

a) Permutação com repetição (pois há algarismos repetidos):
$P_7^{2,3} = \cfrac{7!}{3! \cdot 2!} = \cfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 2 = 420$

420 permutações

b) Basta contar todas as permutações que não começam com 5 nem 7. Há 5 maneiras de escolher o primeiro algarismo e os outros 6 algarismos podem ser permutados livremente (permutação de 6 elementos, 6!). Não esqueça de dividir pelas permutações dos elementos repetidos (como visto no item a, $3! \cdot 2!$). Total:

$\cfrac{5 \cdot 6!}{3! \cdot 2!} = \cfrac{5 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} = 5 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 2 = 300$

300 números