Question

Experiência realizada em certo posto de combustível afirma que a cada 3 minutos 9 clientes param para colocar gasolina. A probabilidade de no máximo 2 clientes pararem qualquer minuto é de APROXIMADAMENTE:

a) 42,3%
b) 28,9%
c) 44,8%
d) 54,6%
e) 41,2%

Answer 1

Tem-se uma média de chegada de 9 clientes a cada 3 minutos. Logo, em média, é esperado que parem 3 clientes a cada 1 minuto no posto

Adotando λ = 3 e definindo X como a variável aleatória que conta o número de clientes que param no posto em 1 minuto, temos que X tem Distribuição de Poisson de parâmetro λ = 3.

$X\sim\mathcal P(3)~\longrightarrow~P(X=x)=\dfrac{e^{-3}\cdot3^{x}}{x!},~x=0,1,2,...$

Queremos encontrar $P(X\le2)$, que é a probabilidade de no máximo 2 clientes pararem no posto

$P(X\le2)=\sum\limits_{x=0}^{2}P(X=x)\\\\\\P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\\\\\P(X\le2)=\dfrac{e^{-3}\cdot3^{0}}{0!}+\dfrac{e^{-3}\cdot3^{1}}{1!}+\dfrac{e^{-3}\cdot3^{2}}{2!}\\\\\\P(X\le2)=e^{-3}\left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{3}{1}+\dfrac{9}{2}\right)\\\\\\P(X\le2)=\dfrac{17}{2}e^{-3}\\\\\\P(X\le2)\approx0,42319\\\\\\\boxed{\boxed{P(X\le2)\approx42,3\%}}$