Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

I)

$\largeY=\dfrac{Sen(x)+Cos(x)}{Sen(x)-Cos(x)}$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função $Y=\dfrac{Sen(x)+Cos(x)}{Sen(x)-Cos(x)}$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{-\dfrac{2}{-Sen(2x)+1}}} }$

Mas, como chegamos nessa conclusão

Temos que derivar a seguinte função

$Y=\dfrac{Sen(x)+Cos(x)}{Sen(x)-Cos(x)}$

Para resolver essa questão precisamos relembrar algumas propriedades da derivação

• Regra do quociente

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(\frac{F(x)}{G(x)} \right)= \dfrac{\dfrac{dy}{dx} (F(x)\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx} (G(x)}{G(x)^2} }$

• Derivada do Seno

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(Sen(x)\right)=Cos(x) }$

• Derivada do Cosseno

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(Cos(x)\right)=-Sen(x) }$

• Derivada de uma Constante multiplicando a variável

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\cdot X\right)=C\cdot\dfrac{dy}{dx}\left(X\right) }$

Com isso em mente vamos derivar a nossa função

$\large\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{Sen(x)+Cos(x)}{Sen(x)-Cos(x)}\right)\Rightarrow$

$\dfrac{\frac{dy}{dx}\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)\left(\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)-\frac{dy}{dx}\left(\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)}{\left(\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)^2}$

Aplicando a derivada do seno e do cosseno temos

$\dfrac{\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)\left(\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)-\left(\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\right)\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)}{\left(\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)^2}$

Achamos nossa derivada, agora vamos simplificar essa expressão com propriedade distributiva e propriedades trigonométricas

Propriedades trigonométricas:

$\boxed{Sen^2(x)+Cos^2(x)=1}$

$\boxed{2Sen(x)Cos(X)= Sen(2x)}$

No numerador temos:

$(Cos(x)-Sen(x))\cdot (Sen(x)-Cos(x))$ e  

$(Cos(x)+Sen(x))\cdot (Sen(x)+Cos(x))$

Usando propriedade distributiva No primeiro termo

$(Cos(x)-Sen(x))\cdot (Sen(x)-Cos(x))\Rightarrow$

$\boxed{Cos(x)Sen(X) -Cos^2(x)-Sen^2(x)+Cos(x)Sen(x)}$

Reorganizando temos

$2Cos(x)Sen(x) -Cos^2(x)- Sen^2(x)\Rightarrow Sen(2x)-(Cos^2(x)+Sen^2(x))\Rightarrow\\\\\boxed{Sen(2x)-1}$

Agora vamos fazer no outro termo

$(Cos(x)+Sen(x))\cdot (Sen(x)+Cos(x))\Rightarrow$

$Cos(x)Sen(X) +Cos^2(x)+Sen^2(x)+Cos(x)Sen(x)\Rightarrow$

$2Cos(x)Sen(x) +Cos^2(x)+ Sen^2(x)\Rightarrow \boxed{Sen(2x)+1}$

Agora vamos trabalhar no denominador

$\left(Sen \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)^2\Rightarrow Sen(x)-2Cos(x)Sen(x)+ Cos^2(x)\Rightarrow$

$\boxed{-Sen(2x)+1}$

Com isso em mente vamos substituir na nossa expressão

$\dfrac{\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)\left(\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)-\left(\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\right)\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)}{\left(\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)^2}$

$\dfrac{Sen(2x)-1-(Sen(2x)+1)}{- Sen(2x)+1}\Rightarrow \dfrac{Sen(2x)-1-Sen(2x)-1}{-Sen(2x)+1}\Rightarrow$

$\dfrac{-2}{-Sen(2x)+1}\Rightarrow \boxed{-\dfrac{2}{-Sen(2x)+1} }$

Assim concluirmos que a derivada da função é $\large\text{ \boxed{\boxed{-\dfrac{2}{-Sen(2x)+1}}} }$

Answer 2

Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de  regras de derivação que  a derivada da função

$\sf y=\dfrac{sen(x)+cos(x)}{sen(x)-cos(x)}$ é  $\sf y'=-2sec(2x)[tg(2x)+sec(2x)]$✅

Regras básicas de derivação

• Derivada da constante:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf \dfrac{d}{dx}[k]=0\end{array}}$

• Derivada da soma ou diferença;

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm\dfrac{d}{dx}g(x)\end{array}}$

• Derivada do produto

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)\end{array}}$

• Derivada do quociente

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}\bigg[\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg]=\dfrac{\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2}\end{array}}$

• Derivada da potência

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\end{array}}$

Derivada de funções trigonométricas

• Derivada da função seno

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[sen(u)]=cos(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}$

• Derivada da função cosseno

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[cos(u)]=-sen(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}$

• Derivada da função tangente

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[tg(u)]=sec^2(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}$

• Derivada da função secante

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[sec(u)]=sec(u)\cdot tg(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}$

• Derivada da função cossecante

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[cosec(u)]=-cosec(u)\cdot cotg(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}$

• Derivada da função cotangente

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{d}{dx}[cotg(u)]=-cosec^2(u)\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}$

✍️Vamos a resolução da questão

Aqui iremos multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do denominador para transformar a função em outra equivalente de mais fácil tratamento para depois calcular a derivada.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf y=\dfrac{[sen(x)+cos(x)]}{[sen(x)-cos(x)]}\cdot\dfrac{[sen(x)+cos(x)]}{[sen(x)+cos(x)]}\\\\\sf y=\dfrac{sen^2(x)+2sen(x)cos(x)+cos^2(x)}{sen^2(x)-cos^2(x)}\\\\\sf y=\dfrac{1+sen(2x)}{-cos(2x)}=-sec(2x)-tg(2x)\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf y=-sec(2x)-tg(2x)\\\sf y'=-2sec(2x)\cdot tg(2x)-2sec^2(2x)\\\sf y'=-2sec(2x)[tg(2x)-sec(2x)]\end{array}}$

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