Question

A regra do produto nos diz que: sejam f(x) e g(x) funções deriváveis em x0, então, o produto delas r(x) = f(x) * g(x) também é derivável em x0 e a derivada satisfaz a fórmula r’(x) = f ’(x) * g(x) + f(x) * g’ (x). Sejam as funções f(x) = x2 – 5x e g(x) = -x3 + x -7, assinale a alternativa que contenha a derivada de r(x):
Alternativas
Alternativa 1:
r’(x) = 5x4 + 20x3 + 3x2 – 24x + 35

Alternativa 2:
r’(x) = - 5x4 +16x3 + 3x2 – 16x + 2

Alternativa 3:
r’(x) = - x4 + 12x3 – x + 8

Alternativa 4:
r’(x) = - x4 - x3 + 3x2 – 2x + 4

Alternativa 5:
r’(x) = - 2x4 + 3x3 +4x2 + 5x -1

Answer 1

Resposta:

Sejam as seguintes funções reais $f$ e $g$ assim definidas:

$f(x) = x^2 - 5x;\\\\g(x) = -x^3 + x - 7.$

Seja $r$ a função produto de $f$ e $g$, isto é:

$r(x) = f(x) \cdot g(x).$

Encontremos a derivada de $r$ em função de $x:$

$r'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\\\\\Longrightarrow r'(x) = \left(2x - 5\right) \cdot \left(-x^3 + x - 7 \right) + \left(x^2-5x \right) \cdot \left(-3x^2 + 1 \right)\\\\\Longleftrightarrow r'(x) = \left(-2x^4+2x^2-14x+5x^3-5x+35\right) + \left(-3x^4 +x^2 +15x^3 -5x \right)\\\\\Longleftrightarrow \boxed{r'(x) = -5x^4 +20x^3+3x^2-24x+35.}$