Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices desse poliedro e a soma dos ângulos internos de suas faces:.
Respostas
Um poliedro convexo de 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal terá um número de 8 vértices e a soma dos ângulos internos de suas faces será de 2.160º.
O que é um poliedro convexo?
Um poliedro convexo é uma forma geométrica que está no mesmo semiespaço para todo plano que contém uma de suas faces. Isso significa que uma face não corta outra face.
Ele é formado por:
- Faces (F)
- Vértices (V)
- Arestas (A)
Vamos descobrir cada uma no poliedro dado na questão.
Já sabemos que ele possui 7 faces, dado na própria questão, agora vamos descobrir suas arestas.
Em 4 faces triangulares, temos 3 arestas em cada: 4*3 = 12
Em 2 faces retangulares, temos 4 arestas em cada: 2*4 = 8
Em 1 face hexagonal, temos 6 arestas: 1*6 = 6
Somando, teremos: 12 + 8 + 6 = 26 arestas.
Porém, pela propriedade dos poliedros, sabemos que a soma das arestas é igual ao dobro das arestas de um poliedro.
Assim, teremos:
2A = 26
A = 26/2
A = 13.
Vamos identificar as vértices utilizando a relação de Euler:
V - A + F = 2
V + F = A + 2
V + 7 = 13 + 2
V = 13 + 2 - 7
V = 15 - 7
V = 8
Para finalizar, precisamos descobrir a soma dos ângulos e para isso usaremos a seguinte fórmula:
S = (V - 2)*360º
S = (8 - 2)*360º
S = 6*360º
S = 2.160º
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