Question

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm²) é: (1,0).

Answer 1

A partir do teorema de Pitágoras e de produtos notáveis, tem-se que é possível chegar na área de um triângulo retângulo tendo sua hipotenusa e perímetro.

Portanto, sua área é de 11cm²

Área de um triângulo tendo sua hipotenusa e perímetro

A área de um triângulo qualquer é dada por:

$\boxed{A=\frac{b.c}{2}}$

Onde b e c são base a altura, respectivamente, ou seja, os dois catetos do triângulo

O perímetro de um triângulo é dado pela soma dos seus lados, portanto:

P=a+b+c

O problema diz que: P=22cm, portanto:

22=a+b+c

E também diz que a hipotenusa dada por a vale 10cm, portanto:

b+c=12cm

Do produto notável dado por (b+c)²:

(b+c)²=b²+2bc+c²

Isolando bc:

(b+c)²-b²-c²=2bc
bc=[(b+c)²-(b²+c²)]/2

Agora, pelo Teorema de Pitágoras:

a²=b²+c²

Portanto, substituindo-a na equação anterior:

bc=[(b+c)²-a²]/2

Temos também que b+c=12, então:

bc=([12²-10²)/2
bc=44/2
bc=22cm

Agora, voltando na equação da área:

$A=\frac{bc}{2}\\\\A=22cm/2\\\\A=11cm$

Portanto, a área é de 11cm.

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