Question

Quantas capicuas de 7 algarismos existem que tenham 4 algarismos diferentes?

Preciso da explicação passo a passo.

Answer 1

Uma palavra (ou, neste caso, número) capicua corresponde a uma palavra que é simétrica em relação à sua letra central. Como temos 7 letras, basta escolher as primeiras 4, pois as outras 3 serão simétricas às primeiras 3.

$abcdcba$ (veja que basta escolher $a, b, c, d$)

Ou seja, basta escolher 4 algarismos diferentes. O primeiro algarismo pode ser escolhido de 9 maneiras, pois não pode ser 0 (ou o número não teria 7 algarismos, por começar com 0). O segundo algarismo pode ser escolhido de 9 maneiras, pois não pode ser igual ao anterior mas pode ser 0. Os dois seguintes algarismos podem ser escolhidos de 8 e 7 maneiras, respectivamente.

Conforme o princípio fundamental da contagem, basta multiplicar:
$9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$ números