Question

Use a indução matemática para demonstrar que o resultado da expressão abaixo indicado é válido para qualquer inteiro positivo n. (n ≥ 1)

Answer 1

Com a definição de princípio da indução finita, provamos a seguinte afirmação:1/1.2+1/2.3+1/3.4+⋯+n/n(n+1))=n/n+1.

Princípio da indução finita

• Etapa (i): Suponhamos um valor inicial de n para o qual a afirmação seja verdadeira. Aqui, precisamos provar que a afirmação é verdadeira para o valor inicial de n.
• Etapa (ii): Agora, suponha que a afirmação seja verdadeira para qualquer valor de n, digamos n = k. Então, prove que a afirmação dada é verdadeira para n = k + 1 também.
• Passo (iii): Finalmente, temos que dividir n = k + 1 em duas partes; uma parte é n = k (já provada no segundo passo), e temos que provar a outra parte.

No procedimento acima, provar a afirmação dada para o valor inicial é considerado como o passo base da indução matemática e o procedimento restante é conhecido como o passo indutivo. Resolvendo o exercício teremos:

O resultado é verdadeiro para n = 1, pois:

$\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1\cdot 2}$

Seja o resultado verdadeiro para n = k, isto é:

$\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+....+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}$

Precisamos provar que o resultado também é verdadeiro para n = k + 1, ou seja:

$\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+....+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}$

por nossa suposição:

$\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+....+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}$

adicionando $\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$ em ambos os lados:

$\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+....+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=$

$=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\dfrac{1}{k+1}\left(k+\dfrac{1}{k+2}\right)$

$=\dfrac{1}{k+1}\left(\dfrac{k^2+2k+1}{k+2}\right)$

$=\dfrac{1}{k+1}\left(\dfrac{\left(k+1\right)^2}{k+2}\right)$

$=\dfrac{k+1}{k+2}$

Portanto, o resultado é verdadeiro para n = k + 1. Portanto, pelo princípio da indução matemática, o resultado é verdadeiro para todos $n\in \mathbb{N}$

Saiba mais sobre princípio da indução finita:https://brainly.com.br/tarefa/7570591

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