Question

Determine o primeiro termo e o numero de termos de uma P.A em que An:18 r:2 e Sn:88

Answer 1

Olá Franciele,

$temos~os~dados:\begin{cases}r=2\\ a _{n}=18\\ S _{n}=88\\ a _{1}=?\\ n=? \end{cases}$

Usando a fórmula do termo geral da P.A., temos:

$a _{n}=a _{1}+(n-1)r\\ 18=a _{1}+(n-1)*2\\ 18=a _{1}+2n-2\\ a _{1}=-2n+20$

Agora aplicamos o valor de a1, na soma dos n primeiros termos da P.A.:

$S _{n}= \frac{(a _{1}+a _{n})n }{2}\\\\ 88= \frac{((-2n+20)+18)n}{2}\\\\ 88= \frac{(-2n+38)*n}{2}\\\\ 88= \frac{-2n ^{2}+38n }{2}\\\\ 88=-n ^{2}+19n\\ n ^{2}-19n+88=0~~(equacao~do~2 ^{o}~grau)$

$\Delta=b ^{2}-4ac~\to\Delta=(-19) ^{2}-4*1*88~\to\Delta=361-352~\to\Delta=9\\\\ \\ n= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\ ~\to~n= \frac{-(-19)\pm \sqrt{9} }{2*1}~\to~n=\frac{19\pm3}{2}~\to\begin{cases}n'=\frac{19-3}{2}~\to~n'=8\\\\n''= \frac{19+3}{2}~\to~n''=11 \end{cases}$

Para número de termos igual a 8, temos primeiro termo:

$(a _{1})'=-2n+20\\ (a _{1})'=(-2)*8+20\\( a _{1})'=-16+20\\ (a _{1})'=4$

Para número de termos igual a 11, temos primeiro termo:

$(a _{1})''=-2n+20\\ (a _{1})''=(-2)*11+20\\ (a _{1})''=-22+20\\ (a _{1})''=-2$


Portanto,

$\boxed{quando~n=8~\to~a _{1}=4~~e~~ quando~n=11~\to~a _{1}=-2}}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos ^^