Question

Foram coletadas amostras de poluição em ug/m³ (micrograma por metro cúbico), em dias aleatórios durante todo o ano, obtendo os dados abaixo:
Cidade A 53 55 58 62 63 68 70 72 82 87
Cidade B 59 62 63 65 67 71 72 75 77 79 Cidade C 52 65 67 68 72 73 74 75 76 78 Marque a alternativa correta:​

Answer 1

Analisando as medidas de dispersão dos nossos dados, sendo estas a variância e o desvio padrão, temos que a cidade B é a mais homogênea pois é a que possui menor taxa de variação.

Para entendermos melhor essa colocação, temos que relembrar o que são e como podemos calcular as medidas de dispersão da nossa amostra.

O que são medidas de dispersão?

Medidas de dispersão são parâmetros que determinam o grau de variação dos dados em relação à sua média. Elas servem para nos dizer a variabilidade dos nossos dados e permitem interpretação acerca da homogeneidade destes.

Antes de calcular nossos parâmetros de dispersão, vamos calcular a média amostral. Afinal, queremos medir o quanto os dados se afastam da própria média para medir sua variabilidade.

A média amostral (ou seja, a média aritmética das nossas amostras) é uma medida de tendência central que é obtida somando os dados da nossa amostra e dividindo valor encontrado pelo número total de dados da amostra. Desse modo, temos sua fórmula dada por:

$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

Para nosso caso, temos que a média amostral das amostras de poluição por cidades é dada por:

• Média amostral da cidade A:

$\overline{X_A} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{53+55+58+62+63+68+70+72+82+87}{10} = \frac{670}{10} = 67$

Ou seja, o valor médio de poluição na cidade A é de 67ug/m³

• Média amostral da cidade B:

$\overline{X_B} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{59+62+63+65+67+71+72+75+77+79}{10} = \frac{690}{10} = 69$

Ou seja, o valor médio de poluição na cidade B é de 69ug/m³

• Média amostral da cidade C:

$\overline{X_C} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{52+65+67+68+72+73+74+75+76+78}{10} = \frac{700}{10} = 70$

Ou seja, o valor médio de poluição na cidade C é de 70ug/m³

Agora, podemos entrar no cálculo dos nossos parâmetros de dispersão.  Como estamos analisando amostras, todos nossos parâmetros serão amostrais. Estes são quatro: a amplitude amostral entre os dados, a variância amostral, o desvio padrão amostral, e o coeficiente de variação amostral.

Como calcular a amplitude amostral?

A amplitude amostral é dada pela diferença entre o maior e o menor valor da nossa amostra. Por mais que não considere a distribuição dos dados, informação fundamental para nossa análise, ainda sim é uma medida de dispersão interessante de ser calculada. Temos sua fórmula dada por:

$A = max\{x_i\} - min\{x_i\}$

Com isso, podemos calcular a amplitude amostral dentre as cidades dadas:

• Amplitude amostral da cidade A:

$A_A = 87 - 53 = 34$

Ou seja, o diferença entre o maior e menor valor obtido em dias aleatórios na cidade A é de 34ug/m³.

• Amplitude amostral da cidade B:

$A_B = 79 - 59 = 20$

Ou seja, o diferença entre o maior e menor valor obtido em dias aleatórios na cidade B é de 20ug/m³.

• Amplitude amostral da cidade C:

$A_C = 78 - 52 = 26$

Ou seja, o diferença entre o maior e menor valor obtido em dias aleatórios na cidade C é de 26ug/m³.

Como calcular a variância amostral?

A variância amostral é uma medida de dispersão que nos diz o valor médio do quadrado das diferenças da média amostral. Sua fórmula é dada por:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{X})^2}{n - 1}$

Podemos calcular a variância amostral das cidades dadas de modo a realizar:

• Variância amostral da cidade A:

$s_A^2 = \frac{(53-67)^2+(55-67)^2+(58-67)^2+(62-67)^2+(63-67)^2+(68-67)^2+(70-67)^2+(72-67)^2+(82-67)^2+(87-67)^2}{10 - 1}$

$s_A^2 = \frac{(-14)^2+(-12)^2+(-9)^2+(-5)^2+(-4)^2+(1)^2+(3)^2+(5)^2+(15)^2+(20)^2}{9}$

$s_A^2 = \frac{196+144+81+25+16+1+9+25+225+400}{9} = \frac{1122}{9} \approx 124.67$

Ou seja, o valor médio do quadrado das diferenças da média amostral cidade A é de aproximadamente 124.67.

• Variância amostral da cidade B:

$s_B^2 = \frac{(59-69)^2+(62-69)^2+(63-69)^2+(65-69)^2+(67-69)^2+(71-69)^2+(72-69)^2+(75-69)^2+(77-69)^2+(79-69)^2}{10 - 1}$

$s_B^2 = \frac{(-10)^2+(-7)^2+(-6)^2+(-4)^2+(-2)^2+(2)^2+(3)^2+(6)^2+(8)^2+(10)^2}{9}$

$s_B^2 = \frac{100+49+36+16+4+4+9+36+64+100}{9} = \frac{418}{9} \approx 46.44$

Ou seja, o valor médio do quadrado das diferenças da média amostral cidade B é de aproximadamente 46.44.

• Variância amostral da cidade C:

$s_C^2 = \frac{(52-70)^2+(65-70)^2+(67-70)^2+(68-70)^2+(72-70)^2+(73-70)^2+(74-70)^2+(75-70)^2+(76-70)^2+(78-70)^2}{10 - 1}$

$s_C^2 = \frac{(-18)^2+(-5)^2+(-3)^2+(-2)^2+(2)^2+(3)^2+(4)^2+(5)^2+(6)^2+(8)^2}{10 - 1}$

$s_C^2 = \frac{324+25+9+4+4+9+16+25+36+64}{9} = \frac{516}{9} \approx 57.33$

Ou seja, o valor médio do quadrado das diferenças da média amostral cidade C é de aproximadamente 57.33.

Como calcular o desvio padrão amostral?

O desvio padrão amostral é uma medida de dispersão dada pela raiz quadrada da variância amostral. Com isso, obtemos uma medida de dispersão na unidade de medida que nossos dados, facilitando nossa análise. Sua fórmula é dada por:

$D_p = s = \sqrt{s^2}$

Podemos calcular o desvio padrão amostral realizando:

• Desvio padrão amostral da cidade A:

$s_A = \sqrt{s_A^2} = \sqrt{124.67} \approx 11.67$

Ou seja, os dados da cidade A se afastam da média em um valor aproximado de 11.67ug/m³.

• Desvio padrão amostral da cidade B:

$s_B = \sqrt{s_B^2} = \sqrt{46.44} \approx 6.81$

Ou seja, os dados da cidade B se afastam da média em um valor aproximado de 6.81ug/m³.

• Desvio padrão amostral da cidade C:

$s_C = \sqrt{s_C^2} = \sqrt{57.33} \approx 7.57$

Ou seja, os dados da cidade C se afastam da média em um valor aproximado de 7.57ug/m³.

Como calcular o coeficiente de variação amostral?

Por fim, utilizando das medidas calculadas anteriormente, podemos obter o coeficiente de variação amostral (ou taxa de variação), que nos dá em termos de porcentagem o quanto nossos dados se afastam da média. Ele é dado pela multiplicação do desvio padrão amostral por 100 e a divisão do valor encontrado pela média amostral. Sua fórmula é dada por:

$CV = \frac{s*100}{\overline{X}}$

Como estamos trabalhando com amostras que possuem médias diferentes, e o desvio padrão nos dá o parâmetro de dispersão em relação à média, a taxa de variação é um método de padronizar a dispersão e podermos comparar as homogeneidades das amostras.

Desse jeito, o coeficiente de variação amostral é calculado realizando:

• Taxa de variação amostral da cidade A:

$CV_A = \frac{11.67*100}{67} \approx 17.42\%$

Ou seja, em relação à cidade A, os nossos dados possuem um afastamento de aproximadamente 17.42% da média.

• Taxa de variação amostral da cidade B:

$CV_B = \frac{6.81*100}{69} \approx 9.87\%$

Ou seja, em relação à cidade B, os nossos dados possuem um afastamento de aproximadamente 9.87% da média.

• Taxa de variação amostral da cidade C:

$CV_C = \frac{7.57*100}{70} \approx 10.81\%$

Ou seja, em relação à cidade C, os nossos dados possuem um afastamento de aproximadamente 10.81% da média.

Com isso, podemos concluir que a ordem de homogeneidade é dada, respectivamente, pela cidade B, seguida da cidade C e, por último, a cidade A. Tal ordem é dada pela comparação da taxa de variação amostral de cada uma.

Saiba mais sobre medidas de dispersão em: https://brainly.com.br/tarefa/2172652

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