Question

Dada a função y= -x² +x +2, determine os valores reais de x para que se tenha:
y=0

y>0

y<0

Answer 1

Resposta:

Eis as respostas solicitadas:

1. y = 0 => S = {x € |R / x = -1 e x = 2}
2. y > 0 => S = {x € |R / -1 < x < 2}
3. y < 0 => S = {x € |R / x < - 1 e x > 2}

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo-a-passo:

Dada a função y = -x² + x + 2, inicialmente vamos encontrar os valores que correspondem aos zerou ou às raízes da função:

y = -x² + x + 2

0 = -x² + x + 2

Vamos aplicar a Fórmula de Bhaskara, uma vez que estamos diante de uma equação de segundo, cujos coeficientes são: a = -1, b = 1 e c = 2.

Fórmula de Bhaskara:

$x = \frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a} \\ x = \frac{-1±\sqrt{1²-4( - 1)(2)}}{2( - 1)} \\ x = \frac{ - 1± \sqrt{1 + 8} }{ - 2} \\ x = \frac{ - 1± \sqrt{9} }{ - 2} \\ x = \frac{ - 1±3}{ - 2}$

Agora, vamos proceder aos cálculos para o encontro das duas raízes:

$x_{1} = \frac{ - 1 - 3}{ - 2} = \frac{ - 4}{ - 2} = 2 \\ x_{2} = \frac{ - 1 + 3}{ - 2} = \frac{2}{ - 2} = - 1$

As duas raízes são os valores de x para os quais o valor de y é igual a zero (y = 0).

Agora, vamos ao encontro dos valores de x para os quais o valor de y é maior que zero (y > 0) e menor que zero (y < 0).

Antes, é importante assinalar que a concavidade da parábola, que representa o gráfico da função dada, está voltada para baixo, pois o valor do coeficiente a é negativo (a = -1 < 0).

Assim, vamos identificar, na reta numérica abaixo, os sinais assumidos pela função:

(-)(-)(-)(-)(-)-1(+)(+)(+)(+)(+)2(-)(-)(-)(-)(-)

Assim, no segmento entre as raízes, mas não as incluindo, a função assume valores positivos. Por sua vez, fora desse intervalo, a função assume valores negativos.

Vamos finalizar a Tarefa, apresentando as respostas solicitadas:

• y = 0 => S = {x € |R / x = -1 e x = 2}
• y > 0 => S = {x € |R / -1 < x < 2}
• y < 0 => S = {x € |R / x < - 1 e x > 2}