Question

Lista de exercícios - VIII UFRN

Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

k)
$Y=\dfrac{x^3}{ln(x)}$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função $Y=\dfrac{x^3}{ln(x)}$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{3x^2\ln \left(x\right)-x^2}{\ln ^2\left(x\right)}}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$\largeY=\dfrac{x^3}{\ln(x)}$

Para achar a derivada dessa função temos que usar algumas propriedades da derivação

• Regra do quociente derivadas

         $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(\frac{F(x)}{G(x)} \right)= \dfrac{\dfrac{dy}{dx} (F(x)\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx} (G(x)}{G(x)^2} }$

• Derivada de um Logaritmo Natural

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(ln(x)\right)= \dfrac{1}{x} }$

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }$

Com isso em mente vamos  resolver a derivada

$\large\text{ \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{x^3}{\ln(x)}\right)\Rightarrow \dfrac{\dfrac{dy}{dx}\left(x^3\right)\cdot \ln(x)-x^3\cdot\dfrac{dy}{dx} \left(\ln(x)\right) }{(\ln(x))^2} \Rightarrow }$

$\large\text{ \dfrac{3x^2\cdot \ln(x)-x^3\cdot \dfrac{1}{x} }{\ln^2(x)} \Rightarrow\boxed{\dfrac{3x^2\ln(x)-x^2}{\ln^2(x)}} }$

Assim podemos concluir que a derivada da função é

$\large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{3x^2\ln \left(x\right)-x^2}{\ln ^2\left(x\right)}}} }$