Question

Foi aplicada a prova de matemática contendo 5 questões, cada questão com 3 alternativas. Qual a probabilidade de um aluno, ao chutar todas as questões, acertar exatamente 3?

Answer 1

Considere o caso específico de acertar, nesta ordem, 3 questões e errar 2. A probabilidade de isto ocorrer é:

$\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{2}{3} \cdot = \cfrac{4}{3^5}$

Porém há várias maneiras de se acertar 3 questões e errar 2, cada uma com a probabilidade citada acima. Pode-se contar as mencionadas maneiras mediante uma permutação com repetição (permutação de 5 elementos com 3 e 2 repetidos):
$P_5^{3,2} = \cfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} = 5 \cdot 2 = 10$

Ou seja, há 10 maneiras de se acertar 3 questões e errar 2, com a probabilidade citada no início da resposta. Total:

$10 \cdot \cfrac{4}{3^5} = \cfrac{40}{243} \approx 0,164 \approx 16,4\%$

A probabilidade é de 0,164 (ou 16,4%)