Question

Dada a EDO de 1ª ordem (x^2+1) y'= xy e condições iniciais y(0)=1 mostre, resolvendo por separação de variáveis, que y=$\sqrt{x^{2} +1$

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão que de fato a resolução da equação, resulta em: $\boxed{\bf{y=(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}}$

Temos a seguinte EDO:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \boxed{(x {}^{2} + 1)y' = xy}$

Como a própria questão já nos dá um norte de qual método analítico que devemos usar, então devemos iniciar fazendo a separação de variáveis, isto é, de um lado deixamos os termos dependentes de x e do outro os termos dependentes de y. Então:

$\ast \text{ps} : \: y' = \frac{dy}{dx} \: \: \to \: \: (x {}^{2} + 1). \frac{dy}{dx} = xy$

A primeira coisa que pode-se fazer é multiplicar ambos os membros por (dx):

$(x {}^{2} + 1). \frac{dy}{dx}.dx = xy.dx \: \to \: (x {}^{2} + 1).dy = xy.dx$

Em seguida vamos passar os termos em (y) para o primeiro membro e em seguida os termos em (x) para o segundo membro:

$(x {}^{2} + 1).dy = xy.dx \: \to \: \frac{dy}{y} = \frac{x \: dx}{(x {}^{2} + 1)}$

Como se sabe, neste método após realizar a separação devemos integrar ambos os lados.

$\frac{dy}{y} = \frac{x \: dx}{x {}^{2} + 1} \: \: \to \: \: \int \frac{dy}{y} = \int \frac{x \: dx}{x {}^{2} + 1 }$

A integral do lado esquerdo é conhecida, pois gera o logaritmo natural da variável em questão, já para a segunda integral, podemos utilizar a regra da substituição de variável.

$\int \frac{dy}{y} = \boxed{ \ln |y| +c_{1}} \\ \\ \int \frac{x \: dx}{x {}^{2} + 1 } \: \: \to \: \: \begin{cases}u = x {}^{2} + 1 \\ \frac{du}{dx} = 2x \: \to \: \frac{du}{2} = xdx\end{cases} \\ \int \frac{ \frac{du}{2} }{u} \: \to \: \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} \: \to \: \boxed{ \frac{1}{2} \ln(x {}^{2} + 1) + c_{2}}$

Substituindo esses resultados na equação:

$\ln |y| + c_{1}= \frac{1}{2} \ln |(x {}^{2} + 1) | + c_{2} \\ \\ \ln |y| = \frac{1}{2} \ln |(x {}^{2} + 1) | + \underbrace{(c_{2} - c_{1})}_{c} \\ \\ y = e {}^{ \ln(x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } + c} \: \to \: y =A.(x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} }$

Agora basta fazer a aplicação da situação de contorno, isto é, quando x = 0, y = 1.

$y =A.(x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } \: \to \: \: 1 = A.(0 {}^{2} + 1) \\ \\ A = 1 \: \to \: \boxed{\boxed{ y = (x {}^{2} + 1) {}^{ \frac{1}{2} } }}$

Espero ter ajudado

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