Question

Resolver o sistema difícil:

Answer 1

$\left\{ \!\begin{array}{lc} \dfrac{dy_1}{dx}+2y_1+y_2=\mathrm{sen\,}x&~~~~\mathbf{(i)}\\\\ \dfrac{dy_2}{dx}-4y_1-2y_2=\cos x&~~~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Derivando os dois lados da equação $\mathbf{(i)},$ temos

$\dfrac{d^2 y_1}{dx^2}+2\,\dfrac{d y_1}{dx}+\dfrac{d y_2}{dx}=\cos x~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Podemos tirar $\dfrac{dy_2}{dx}$ da equação $\mathbf{(ii)}:$

$\dfrac{dy_2}{dx}=4y_1+2y_2+\cos x$


Substituindo em $\mathbf{(iii)},$ temos

$\dfrac{d^2 y_1}{dx^2}+2\,\dfrac{d y_1}{dx}+(4y_1+2y_2+\cos x)=\cos x\\\\\\ \dfrac{d^2 y_1}{dx^2}+2\,\dfrac{d y_1}{dx}+4y_1+2y_2=0~~~~~~\mathbf{(iv)}$


Isolando $y_2$ na equação $\mathbf{(i)},$ temos

$y_2=\mathrm{sen\,}x-\dfrac{dy_1}{dx}-2y_1~~~~~~\mathbf{(v)}$


Substituindo em $\mathbf{(iv)},$ obtemos

$\dfrac{d^2 y_1}{dx^2}+2\,\dfrac{d y_1}{dx}+4y_1+2\!\left(\mathrm{sen\,}x-\dfrac{dy_1}{dx}-2y_1 \right)=0\\\\\\ \dfrac{d^2 y_1}{dx^2}+2\,\dfrac{d y_1}{dx}+4y_1+2\,\mathrm{sen\,}x-2\,\dfrac{dy_1}{dx}-4y_1=0\\\\\\ \dfrac{d^2 y_1}{dx^2}=-2\,\mathrm{sen\,}x~~~~~~\mathbf{(vi)}$


A equação $\mathbf{(vi)}$ acima é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, não-homogênea e a coeficientes constantes.

Podemos resolvê-la por integração direta de ambos os lados em $x$. Observe:

$\displaystyle\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{d y_1}{dx} \right )=-2\,\mathrm{sen\,}x\\\\\\ \int\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{d y_1}{dx} \right )dx=\int(-2\,\mathrm{sen\,}x)\,dx\\\\\\ \dfrac{d y_1}{dx}=2\cos x+C_1$


Integrando novamente em $x,$

$\displaystyle\int\dfrac{d y_1}{dx}\,dx=\int(2\cos x+C_1)\,dx\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y_1(x)=2\,\mathrm{sen\,} x+C_1\,x+C_2 \end{array}}$

___________________

Derivando $y_1$ encontrado em relação a $x,$ temos

$\dfrac{dy_1}{dx}=2\cos x+C_1$


Substituindo em $\mathbf{(v)}$ o $y_1$ e a sua derivada, finalmente obtemos

$y_2(x)=\mathrm{sen\,}x-(2\cos x+C_1)-2\cdot (2\,\mathrm{sen\,} x+C_1\,x+C_2)\\\\ y_2(x)=\mathrm{sen\,}x-2\cos x-C_1-4\,\mathrm{sen\,} x-2\,C_1\,x-2\,C_2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y_2(x)=-3\,\mathrm{sen\,}x-2\cos x-C_1\,(2x+1)-2\,C_2 \end{array}}$


sendo $C_1,\,C_2$ constantes arbitrárias.