Question

Sabendo-se que N é um numero natural e diferente de zero, e que sua divisão por três não é exata é correto afirmar que o resto da divisão de N² por 3 é?
a)0
b)1
c)2
d)3
e)não é possível determinar

Answer 1

 Seja $n \in \mathbb{N}^\ast$. De acordo com o enunciado, "n" não é divisível por 3, então ao dividi-lo por 3 encontramos dois restos possíveis: 1 e 2.

- quando o resto é 1, temos: $n = 3 \cdot q + 1$, onde $q \in \mathbb{N^\ast}$.

 Portanto,

$\\ n = 3q + 1 \\ n^2 = (3q + 1)^2 \\ n^2 = 9q^2 + 6q + 1 \\ n^2 = 3 \cdot (3q^2 + 2q) + 1$

 Note que, ainda que elevamos o "n" ao quadrado, ele ainda deixará resto 1. Afim de visualizar melhor o que fora dito, considere $3q^2 + 2q = q'$. Repare que o formato é o mesmo que do inicial!

 - quando o resto é 2, temos: $n=3\cdot p+2$, onde $p\in\mathbb{N^\ast}$.

 Portanto,

$\\n=3p+2\\n^2=(3p+2)^2\\n^2=9p^2+12p+4\\n^2=3\cdot(3p^2+4p+1)+1$

 Note que, ainda que elevamos o "n" ao quadrado, ele ainda deixará resto 1. Afim de visualizar melhor o que fora dito, considere $3p^2+4p+1=p'$. Repare que o formato é o mesmo que do inicial!

 Logo, podemos concluir que a resposta é a opção b!!