(50 PONTOS) Sobre funções reais e classe de diferenciabilidade.
Mostre usando a definição de derivada que a função
é derivável em
é de classe em Por quê?
Respostas
respondido por:
1
Pela definição de módulo, tem-se que
Dessa forma,
Para que a função seja derivável em , o limite
deve existir. Avaliando o limite à esquerda de 0:
Avaliando o limite à direita de 0:
Como os limites laterais existem e são iguais, temos que o limite
existe, e, alem disso:
Logo, é diferenciável em .
_________________________________
A função não é de classe , pois sua derivada segunda não é contínua. Veja:
Achando a derivada de :
Se :
Se :
Se , vimos que .
Como
e
, temos que
Logo, é contínua.
Achando a derivada segunda:
Se :
Se :
Se , temos, por definição,
Avaliando o limite à esquerda de 0:
Avaliando o limite à direita de 0:
Portanto,
Com isso, não existe em , logo não é uma função contínua (pois apresenta descontinuidade em )
Concluímos que não é uma função de classe
Dessa forma,
Para que a função seja derivável em , o limite
deve existir. Avaliando o limite à esquerda de 0:
Avaliando o limite à direita de 0:
Como os limites laterais existem e são iguais, temos que o limite
existe, e, alem disso:
Logo, é diferenciável em .
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A função não é de classe , pois sua derivada segunda não é contínua. Veja:
Achando a derivada de :
Se :
Se :
Se , vimos que .
Como
e
, temos que
Logo, é contínua.
Achando a derivada segunda:
Se :
Se :
Se , temos, por definição,
Avaliando o limite à esquerda de 0:
Avaliando o limite à direita de 0:
Portanto,
Com isso, não existe em , logo não é uma função contínua (pois apresenta descontinuidade em )
Concluímos que não é uma função de classe
Lukyo:
Excelente! :-)
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