Question

GEOMETRIA!! URGENTE..
Um marceneiro recebeu uma encomenda de duas caixas de madeira, uma cúbica e outra na forma de um prisma, cujas faces são 4 retângulos e 2 trapézios isósceles.
A) Qual é a capacidade aproximada, em litros, de cada caixa ?
B)Sabendo que o marceneiro cobra, na confecção das caixas, R$ 15,00 por metro quadrado de madeira utilizada, calcule o valor cobrado em cada caixa.

Answer 1

A)

$\bullet~~$ Capacidade da caixa cúbica:

$\ell_1=80\mathrm{~cm}:$ medida da aresta da caixa.


A capacidade da caixa cúbica é

$V_1=\ell_1^3\\\\ V_1=(80\mathrm{~cm})^3\\\\ V_1=512\,000\mathrm{~cm^3}~~~~~~~~~~(1\mathrm{~cm^3}=10^{-3}\mathrm{~L})\\\\ V_1=512\,000\cdot (10^{-3}\mathrm{~L})\\\\ \boxed{\begin{array}{c} V_1=512\mathrm{~L} \end{array}}$


$\bullet~~$ Capacidade da caixa em forma de prisma:

$B=100\mathrm{~cm}:$ medida da base maior do trapézio

$b=60\mathrm{~cm}$ medida da base menor do trapézio.


Precisamos achar a altura da base, ou seja, a altura do trapézio.

Observe a figura em anexo. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo $ABC,$ obtemos

$h^2+20^2=52^2\\\\ h^2=52^2-20^2\\\\ h^2=2\,704-400\\\\ h^2=2\,304\\\\ h^2=48^2\\\\ h=48\mathrm{~cm}$


Portanto, a medida da área da base da caixa em forma de prisma é

$A_{\text{base}}=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}\\\\\\ A_{\text{base}}=\dfrac{(100+60)\cdot 48}{2}\\\\\\ A_{\text{base}}=\dfrac{160\cdot 48}{2}\\\\\\ A_{\text{base}}=3\,840\mathrm{~cm^2}$


A altura do prisma é $\ell_2=120\mathrm{~cm}.$ Portanto, o volume da caixa em forma de prisma é

$V_2=A_\text{base}\cdot \ell_2\\\\ V_2=(3\,840\mathrm{~cm^2})\cdot (120\mathrm{~cm})\\\\ V_2=460\,800\mathrm{~cm^3}\\\\ V_2=460\,800\cdot (10^{-3}\mathrm{~L})\\\\ \boxed{\begin{array}{c}V_2=460,8\mathrm{~L} \end{array}}$

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B) O marceneiro cobra pela quantidade de material utilizado correspondente à área de cada caixa.

$\bullet~~$ A caixa cúbica tem $6$ faces quadradas, cujos lados medem $\ell_1=80\mathrm{~cm}.$ Logo, a área total da caixa cúbica é

$A_1=6\cdot \ell_1^2\\\\ A_1=6\cdot (80\mathrm{~cm})^2\\\\ A_1=6\cdot 6\,400\mathrm{~cm^2}\\\\ A_1=38\,400\mathrm{~cm^2}~~~~~~~~~~(1\mathrm{~cm}=10^{-2}\mathrm{~m})\\\\ A_1=38\,400\cdot (10^{-2}\mathrm{~m})^2\\\\ A_1=38\,400\cdot 10^{-4}\mathrm{~m^2}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} A_1=3,\!84\mathrm{~m^2} \end{array}}$


$\bullet~~$ A caixa em forma de prisma tem

duas bases em forma de trapézio, com área $A_{\text{base}}=3\,840\mathrm{~cm^2}$ cada base;

dois retângulos de $52\mathrm{~cm}$ por $120\mathrm{~cm};$

um retângulo de $100\mathrm{~cm}$ por $120\mathrm{~cm};$

um retângulo de $60\mathrm{~cm}$ por $120\mathrm{~cm}.$


Portanto, a área total da caixa em forma de prisma é

$A_{2}=2A_{\text{base}}+2\cdot(52\cdot 120)+(100\cdot 120)+(60\cdot 120)\\\\ A_{2}=2\cdot 3\,840+12\,480 +12\,000+7\,200\\\\ A_{2}=7\,680+12\,480 +12\,000+7\,200\\\\ A_{2}=39\,360\mathrm{~cm^2}\\\\ A_{2}=39\,360\cdot (10^{-4}\mathrm{~m^2})\\\\ \boxed{\begin{array}{c}A_{2}=3,\!936\mathrm{~m^2} \end{array}}$

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$\bullet\;\;$ Valor cobrado pela caixa cúbica:

$C_1=15,\!00\cdot A_1\\\\ C_1=15,\!00\cdot 3,\!84\\\\ \boxed{\begin{array}{c}C_1=\mathrm{~R\ ~}57,\!60\end{array}}$


$\bullet\;\;$ Valor cobrado pela caixa em forma de prisma:

$C_2=15,\!00\cdot A_2\\\\ C_2=15,\!00\cdot 3,\!936\\\\ \boxed{\begin{array}{c}C_2=\mathrm{~R\ ~}59,\!04\end{array}}$


Bons estudos! :-)