Question

1. Mostre que o produto de um natural k com seu sucessor é um múltiplo de 2;

2. Mostre que se n é um número ímpar, então n²-1 é divisível por 8.

Sugestão: Use o item 1.

Answer 1

1. Mostre que o produto de um natural k com seu sucessor é um múltiplo de 2;
Número: k
Sucessor: k + 1
k · (k + 1)
Do produto de dois números inteiros e consecutivos podemos afirmar com certeza que um dos dois é par ou k ou k + 1, logo o produto será divisível por dois.

2. Mostre que se n é um número ímpar, então n² - 1 é divisível por 8.
Seja k um número par, logo k + 1 será ímpar
Admitindo que n = k + 1, garantimos que ele seja ímpar, pois k é par. 
n² - 1 = (k + 1)² - 1 = k² + 2k + 1 - 1 = k² + 2k = k (k + 2)
observe que k é par e, portanto, k + 2 é o sucessor par de k, ou seja, ou k ou k + 2 será divisível por 4, e o outro será, obrigatoriamente divisível por 2.  logo o produto será divisível por 8.