Question

Um erro que muitos alunos cometem é pensar que dois quadriláteros são congruentes se tiverem os seus respectivos lados iguais. Isso não é verdade. Nesse problema, veremos que quadriláteros podem ter lados correspondentes iguais, mas áreas distintas.
a) Mostre que a maior área possível para um quadrilátero que possui dois lados de comprimento 3 e dois de comprimento 4 é 12.
b) Mostre que, nos quadriláteros em que isso acontece, a soma dos ângulos opostos é 180

Answer 1

a) Um quadrilátero que possui dois lados iguais a 3 e dois lados iguais a 4 pode ser construído de dois modos apenas: ou com lados iguais adjacentes ou com lados iguais opostos.

- no caso de lados iguais adjacentes, teremos infinitas possibilidades de quadriláteros, variando de 0º a 180º o ângulo entre estes lados. A área do quadrilátero pode ser calculada como a soma das áreas de dois triângulos iguais de lados b = 3 e c = 4 que formam entre eles um ângulo "x".

Sabemos que:
A = b.h/2

Pela trigonometria, sen x = h/c ⇒ h = c.(sen x)

Logo:
A = b.c.(sen x)/2

A área máxima é obtida quando o seno do ângulo assumir o maior valor possível. Portanto, quando sen x = 1:

Amáx quadrilátero = 2.A = 2.b.c.1/2 = 2.3.4/2 = 12

- no caso de lados iguais opostos, nosso quadrilátero torna-se um retângulo (uma opção apenas), cuja área também é 12 (A = 3.4 = 12).

b) No primeiro caso visto acima (lados iguais adjacentes), o seno de x assume o valor máximo, logo:
sen x = 1 ⇒ x = 90º

A soma dos ângulos opostos será 90º + 90º = 180º. Como a soma de todos os ângulos internos de um quadrilátero é 360º, sobram também 180º para os outros dois ângulos opostos. 

No segundo caso (retângulo), temos obrigatoriamente todos os ângulos iguais a 90º e, portanto, a soma dos ângulos opostos é necessariamente 180º.