Question

O número de gansos de uma criação cresce de maneira tal que a diferença entre as populações nos anos n+2 e n é diretamente proporcional à população no ano n+1. Se as populações nos anos 2003, 2004 e 2006 eram 39, 60 e 123, respectivamente, então a população em 2005 era igual a quanto?

Answer 1

Matemática

"O número de gansos de uma criação cresce de maneira tal que a diferença entre as populações nos anos "n+2" e "n" é diretamente proporcional a população no ano "n+1". Se a população nos anos 2003, 2004 e 2006 eram 39, 60 e 123 respectivamente, qual era a população de 2005."

Inicialmente

Adotaremos que, "n", "n+1" e por fim "n+2", seja apenas uma simbologia a qual foi usada para que se possa distinguir um ano do seu sucessor.

* Analogamente  
Imagine que tenhamos um caso semelhante, seja:

a = n ou o primeiro ano
b = n + 1 ou o segundo ano
c = n + 2  ou o terceiro ano
d = n + 3 ou o terceiro ano, o qual não foi citado, porém deduzimos que seria representado desta forma, com base no modelo das representações feita pelo enunciado da questão. 

Representação fictícia da população de gansos, em cada ano.

a = 1
b = 2
c = ?
d = 4

O enunciado diz ainda que "[...] Tal que a diferença entre os anos "n + 2" e "n" é diretamente proporcional a n + 1. [...]"

Tradução de acordo com o que criamos

"[...] Tal que a diferença entre os anos "d" e "a" é diretamente proporcional a "c".[...]"

Admita que "d" seja o último ano e "a" o primeiro, a diferença resulta entre eles resulta em "c".

Em equação:  d - a = c ou seja  4 - 1 = c, c = 3.

De fato um pequeno cálculo demostraria que o resposta para o população do terceiro ano é 3.

Porém na questão fictícia acima, existe uma razão r, que tem módulo igual a 1, a cada ano que se possa a população aumenta em um ganso, ao passo que em sua questão parece não haver um padrão, veja:

2003 a população era de 39 gansos
2004 a população era de 60 gansos

Eu poderia dizer que a razão, é 21 assim a população de 2005 seria 60 + 21 o resultado 81, porém ela ( a questão ) diz que a população de gansos de 2006 é igual a 123, logo essa razão de 21 não pode ser real, por que 81 + 21 é apenas 102.

Façamos o que foi feito com exemplo fictício

2003 primeiro ano
2006 o último ano
2005 desejo encontrar

População

2003 = 39 Gansos
2006 = 123 Gansos
"123 - 39" = ?

A resposta é surpreendentes 84 gansos, o valor que afirmou ser o correto.

**Observações

Percebeu que a equação mudou, a questão disse subtraia o último anos "n+2" do primeiro "n" e encontra o segundo "n+1".

Então por que eu subtrai a população 2006 último ano, da população de 2004 o primeiro ano, e aleguei encontrar a população de 2005 que seria o terceiro ano, é simples.

A equação sugere que, eu subtraia a população do último ano do primeiro, correto? Assim eu encontro o anos seguinte, o fato é que:

Se eu tiver 3 anos

a primeiro ano
b segundo ano
c último ano

Então "c - a = b"

Porém se eu tiver quatro anos, como na sua questão.

a primeiro ano
b segundo ano
c terceiro ano
d último ano

Então "d - a = c"

Seria uma constante que esta equação sugere (originalmente "n+2 - n = n+1"), assim se houvesse 5 anos, eu provavelmente encontraria (se me comprometesse a subtrair a população do último ano do primeiro) a população do quarto ano, e assim por diante, a equação parece de adaptar.