Question

Dê a equação geral da circunferência que contêm os pontos (2,14),(7,9) e (8,10) Me ajuuuuudem !

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Josell, que é simples.
Se a circunferência contém os pontos A(2; 14), B(7; 9) e C(8; 10) , então a distância do centro D(x; y) dessa circunferência a cada um dos pontos acima será igual ao raio (r).

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Distância (r) do ponto A(2; 14) ao centro D(x; y):

r² = (x-2)² + (y-14)² ---- desenvolvendo, teremos:
r² = x²-4x+4 + y²-28y+196 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos;

r² = x² + y² - 4x - 28y + 200     . (I)

ii) Distância (r) do ponto B(7; 9) ao centro D(x; y):

r² = (x-7)² + (y-9)² ---- desenvolvendo, teremos:
r² = x²-14x+49 + y²-18y+81 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos:

r² = x² +y ² - 14x - 18y + 130     . (II) 

iii) Distância (r) do ponto C(8; 10) ao centro D(x; y)

r² = (x-8)² + (y-10)² ---- desenvolvendo, teremos:
r² = x²-16x+64 + y²-20y+100 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos:

r² = x² + y² - 16x - 20y + 164     . (III)

iv) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III), e que são estas: 

r² = x² + y² - 4x - 28y + 200         . (I)
r² = x² +y ² - 14x - 18y + 130     . (II)
r² = x² + y² - 16x - 20y + 164     . (III)

como tudo é igual a "r²" , então vamos igualá-las. Assim:

iv.a) Igualando as expressões (I) e (II), teremos:

x² + y² - 4x - 28y + 200  = x² +y ² - 14x - 18y + 130 ---- passando todo o 2º membro para o primeiro, teremos:

x² + y² - 4x - 28y + 200 - x² - y² + 14x + 18y - 130 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

10x - 10y + 70 = 0 ---- para facilitar, dividiremos ambos os membros por "10", com o que ficaremos:

x - y + 7 = 0 ----- passando "7" para o 2º membro, teremos:
x - y = - 7    . (IV)

iv.b)  Igualando as expressões (I) e (III), teremos:

x² + y² - 4x - 28y + 200 = x² + y² - 16x - 20y + 164 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

 x² + y² - 4x - 28y + 200- x² - y² + 16x + 20y - 164  = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

12x - 8y + 36 = 0 --- para facilitar vamos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos assim:

3x - 2y + 9 = 0  ---- passando "9" para o 2º membro, teremos:
3x - 2y = - 9     . (V)

 Agora note que acabamos de formar um novo sistema formado pelas expressões (IV) e (V). E, como esse sistema tem duas equações com duas incógnitas, então poderemos dispensar a igualdade da expressão (II) com a expressão (III), quando iríamos encontrar a terceira equação.
Veja que o novo sistema é este:

x - y = - 7    . (IV)
3x - 2y = - 9  . (V)

Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (IV) por "-2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (V). Assim:

- 2x + 2y = 14 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-2"]
..3x - 2y = - 9 --- [esta é a expressão (V) normal]
--------------------------- somando membro a membro, teremos:
x + 0 = 5 --- ou apenas:
x = 5 <---- Esta é a abscissa "x" do centro D(x; y)

Agora, para encontrar a ordenada "y" do centro D(x; y) vamos em quaisquer uma das expressões e, em quaisquer uma delas, substituiremos "x" por "5". Vamos na expressão (IV), que é esta:

x - y = - 7 ------ substituindo "x' por "5", teremos:
5 - y = - 7 ---- passando "5" para o 2º membro, temos:
- y = - 7 - 5
- y = - 12 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
y = 12 <--- Esta é a ordenada "y" do centro D(x; y).

iv.c) Nesse caso, o centro D(x; y) será (após substituirmos o "x" por "5" e o "y" por "12):

D(5; 12) <--- Este será o centro da circunferência.

Finalmente, vamos encontrar qual é o raio dessa circunferência. Para isso, basta que tomemos uma das equações que nos dá "r²", que são as expressões (I), (II) e (III), e, em quaisquer uma delas, substituiremos "x" por "5" e "y" por "12". Vamos na expressão (I), que é esta:

r² = x² + y² - 4x - 28y + 200 ---- substituindo-se "x" por "5" e "y" por "12", teremos:

r² = 5² + 12² - 4*5 - 28*12 + 200
r² = 25 + 144 - 20 - 336 + 200
r² = 13
r = +-√(13) ---- como o raio não é negativo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

r = √(13) <--- Este é o raio da circunferência da sua questão.

iv.d) Agora, sim, vamos encontrar qual é a equação da circunferência.
antes veja que uma circunferência de centro em D(xo; yo) e raio = r, terá a seguinte equação reduzida:

(x-xo)² + (y-yo)² = r²

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação da circunferência da sua questão, que tem centro em D(5; 12) e tem raio = √(13) terá a seguinte equação reduzida:

(x-5)² + (y-12)² = [√(13)]² ---- desenvolvendo, ficaremos com:
x²-10x+25 + y²-24y+144 = 13 ---- ou apenas:
x² + y² - 10x - 24y + 169 = 13 ---- passando "13" para o 1º membro, teremos:
x² + y² - 10x - 24y + 169 - 13 = 0
x² + y² - 10x - 24y + 156 = 0 <--- Esta é a resposta. Esta é a equação pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.