Question

Considere a fração 10/q. São feitas as seguintes afirmações: I. Ela não gerará uma dízima periódica se q for potência de 5. II. Se q = 13, ela gerará uma dízima periódica cujo período tem comprimento de 6 algarismos. III. Ela gerará uma dízima periódica se 10 e q forem primos entre si. É correto dizer que: Somente as afirmações II e III são verdadeiras. Somente a afirmação I é verdadeira. Somente as afirmações I e III são verdadeiras. Todas as afirmações são verdadeiras. Somente as afirmações I e II são verdadeiras.

Answer 1

Consideremos a seguinte fração $\dfrac{10}{q}.$

(I) VERDADEIRA

Se $q$ for uma potência de $5,$ isto é, se $q=5^k$ para algum $k$ natural, então

$\dfrac{10}{q}\\\\\\ =\dfrac{10}{5^k}\\\\\\ =\dfrac{10\cdot 2^k}{2^k\cdot 5^k}\\\\\\ =\dfrac{10\cdot 2^k}{(2\cdot 5)^k}\\\\\\ =\dfrac{10\cdot 2^k}{10^k}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \dfrac{10}{q}=\dfrac{2^k}{10^{k-1}} \end{array}}$

para algum $k$ inteiro.


$\bullet~~$ Para $k\le 1$ é imediato que

$\dfrac{10}{q}=\dfrac{2^k}{10^{k-1}}$

é um número natural. Logo, a fração não gera dízima periódica.


$\bullet~~$ Para $k>1,$ segue que

$\dfrac{10}{q}=\dfrac{2^k}{10^{k-1}}$

é uma fração decimal (o denominador é uma potência de dez). Logo, a fração também não gera dízima periódica.

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(II) VERDADEIRA.

Primeiro, vamos encontrar o menor natural $k\ge 1,$ tal que

$n=10^k-1$

seja múltiplo de $13.$

(Note que $n$ será um número formado somente pelo algarismo $9$)


Em outras palavras, queremos encontrar o menor $k$ natural $\ge 1,$ tal que

$10^k\equiv 1~~(\mathrm{mod~}13)$


Vamos fazer o teste com os primeiros valores possíveis para $k$

$10\equiv 10~~(\mathrm{mod~}13)\\\\ 100\equiv 9~~(\mathrm{mod~}13)\\\\ 1\,000\equiv 12\equiv (-1)~~(\mathrm{mod~}13)\\\\ 10\,000\equiv 3~~(\mathrm{mod~}13)\\\\ 100\,000\equiv 4~~(\mathrm{mod~}13)\\\\ 1\,000\,000\equiv 1~~(\mathrm{mod~}13)~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 10^6\equiv 1~~(\mathrm{mod~}13) \end{array}}$


O menor valor possível para $k$ é $6.$

Como $\mathrm{mdc}(10,\,13)=1,$, o período da dízima gerada por $\dfrac{10}{13}$ terá comprimento $k=6$ algarismos.

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(III) VERDADEIRA

Se $10$ e $q$ forem primos entre si, ou seja, se $\mathrm{mdc}(10,\,q)=1$ e $q>1,$


Então,

$q$ não é divisível por nenhum número que possa ser escrito como $2^a\cdot 5^b,$ com $a,\,b$ naturais $\ge 1.$


Sendo assim, segue diretamente que não é possível escrever a fração $\dfrac{10}{q}$ como uma fração decimal

(cujo denominador é uma potência de $10$ ).


Logo, $\dfrac{10}{q}$ gera uma dízima periódica.