Question

Seja Pn o espaço vetorial dos polinómios de grau inferior ou igual a n de coeficientes reais, na variável x e seja P’ o conjunto dos polinômios de grau n. O conjunto P’ é um subespaço vetorial de Pn? Se verdadeiro, demonstre se falso comprove com exemplos.

Answer 1

A resposta é não.

Tomemos estes dois polinômios $u(x)$ e $v(x)$ de grau $n:$

$u(x)=x^n+1\\\\ v(x)=-x^n$


É evidente que

$u(x)\in P'~\text{ e }~v(x)\in P'$


mas observe que

$u(x)+v(x)=1\not \in P'.$


Logo, $P'$ não é um subespaço vetorial de $P_n.$